§ 9. Гармонический осциллятор, на который действует внешняя сила

В этой главе мы изучали простой гармонический осциллятор и системы, которые могли быть сведены к совокупности таких осцилляторов. Однако осцилляторы, которые до сих пор рассматривались, были свободными, т. е. они ни с чем не взаимодействовали и на них не действовала никакая сила. Теперь нужно обобщить наше рассмотрение, включив в него такие линейные системы, которые взаимодействуют с другими объектами или движутся под действием внешних сил. Примерами такого рода могут быть многоатомные молекулы в переменных внешних полях: сталкивающиеся многоатомные молекулы; кристаллы, через которые проходят электроны и возбуждают моды колебаний осцилляторов; наконец, любые другие взаимодействия мод с внешними полями. Мы не будем здесь обсуждать проблему взаимодействия в общем случае; вместо этого рассмотрим как образец один из примеров взаимодействия атомных систем и зарядов с электромагнитным полем. Обобщение этого примера выполним в следующей главе. Другие случаи могут быть проанализированы аналогичным образом.

Все эти проблемы включают в себя два аспекта: 1) разложение поля на совокупность независимых осцилляторов; 2) взаимодействие каждого из таких осцилляторов с внешним потенциалом или с другими системами. Разложение поля на совокупность независимых осцилляторов уже было подробно рассмотрено нами в этой главе.

Чтобы быть готовым к рассмотрению проблемы в целом, остается только исследовать поведение отдельного осциллятора под действием внешнего потенциала. Полное рассмотрение проблемы будет дано в следующей главе.

Для начала вернемся несколько назад к изучению отдельного гармонического осциллятора, но будем учитывать его линейное взаимодействие с некоторым внешним потенциалом (возмущений). Лагранжиан для такой системы запишем в виде

,                       (8.136)

где  - внешняя сила. Для удобства примем, что эта сила действует только в интервале времени от  до , так что осциллятор является свободным как в начальном состоянии при , так и в конце при . Подобная задача была уже нами полностью решена, когда в задаче 3.11 мы вычисляли амплитуду  вероятности перехода осциллятора из точки  в момент времени  в точку  в момент . Но для нас сейчас была бы необходима амплитуда перехода  для осциллятора, который первоначально находился в состоянии , а затем в момент  оказался в состоянии . Такой подход часто оказывается более удобным, чем координатное рассмотрение.

В § 1 мы определили волновые функции  для свободного гармонического осциллятора, а в задаче 3.11 вычислили ядро, описывающее вынужденное движение гармонического осциллятора. Исходя из этого, можно определить амплитуду  прямыми подстановками в выражение

.             (8.137)

Для случая  этот интеграл будет гауссовым, несколько утомительным в оценке, но не представляющим никаких особых трудностей. В результате получим

.                   (8.138)

Если  и  не равны нулю, то интеграл оказывается несколько более сложным. Однако можно использовать тот же способ, который мы уже применяли в задаче 8.1. Попытаемся найти амплитуду вероятности перехода вынужденного гармонического осциллятора, на который действует внешняя сила, из состояния  в состояние , если эти состояния соответствуют условиям задачи 8.1. Искомая амплитуда будет равна

                      (8.139)

где  - масса частицы [см. выражение (8.28)]. Если мы сможем вычислить этот функционал, то получим , умножая  на  и разлагая полученное выражение в ряды по степеням  и . Поэтому нам удобнее сперва вычислить

                       (8.140)

где  - ядро, описывающее гармонический осциллятор под действием внешней силы [см. (3.66)]. Переменные интегрирования здесь появляются только как квадратичные величины в экспоненте подынтегрального выражения, так что все интегрирование легко может быть выполнено. После некоторых простых, но довольно утомительных алгебраических преобразований получаем

              (8.141)

где

,                (8.142)

.               (8.143)

Величины  могут быть легко получены из выражения (8.141) подстановкой . Результат совпадает с выражением (8.138). Умножая далее на экспоненту, как описано выше, и обозначая

,

найдем, что

.            (8.144)

Раскладывая правую часть в ряд по  и по  и сравнивая члены, получаем окончательный результат:

                  (8.145)

где , равное  или , принимает сколь угодно большие целые значения.

Таким образом, мы полностью решили задачу о гармоническом осцилляторе, на который действует внешняя сила. В гл. 9 мы еще раз вернемся к этой проблеме и используем полученные здесь результаты.