§ 4. Краткий обзор понятий, связанных с вероятностью

Альтернативы и принцип неопределенности. В предыдущем изложении мы хотели разъяснить смысл амплитуды вероятности, ее значение в квантовой механике и рассмотреть правила обращения с вероятностями. При этом выяснилось, что существует некоторая величина, называемая амплитудой вероятности, сопоставляемая каждому возможному в природе способу осуществления события. Например, электрон, летящий от источника  в детектор, расположенный в точке  (см. фиг. 1.1), имеет одну амплитуду вероятности, когда он движется через отверстие 1 экрана , и другую амплитуду, если он проходит через отверстие 2. Событию в целом можно затем сопоставить амплитуду вероятности, получаемую путем сложения амплитуд для каждого альтернативного способа движения. Так, приведенная в равенстве (1.2) полная амплитуда вероятности попадания в точку  есть

.                (1.14)

Квадрат модуля полной амплитуды мы интерпретируем как вероятность того, что соответствующее событие произойдет. Например, вероятность попадания электрона в детектор

.            (1.15)

Если мы прерываем развитие процесса еще до его завершения, наблюдая состояние частиц в ходе события, то тем самым изменяем вид выражения для полной амплитуды. Так, если установлено, что система находится в некотором определенном состоянии, то тем самым мы исключаем возможность того, чтобы она оказалась в каком-либо другом состоянии, и при вычислении полной вероятности амплитуды, связанные с такими исключенными состояниями, уже нельзя рассматривать в качестве альтернатив. Например, если с помощью какого-нибудь устройства определить, что электрон проходит именно через отверстие 1, то амплитуда его попадания в детектор будет точно равна . Совершенно неважно, будем ли мы (в тот момент, когда работает измеряющее устройство) фактически наблюдать и записывать результат наблюдения или же нет. Очевидно, что при желании его можно было бы узнать в любое время. Уже одного вмешательства измеряющего устройства достаточно, чтобы изменить систему и соответствующую амплитуду полной вероятности.

Это последнее обстоятельство и составляет основу принципа неопределенности Гейзенберга, который утверждает, что существует естественный предел точности любого эксперимента и любого усовершенствования измерений.

 

Структура амплитуды вероятности. Амплитуда вероятности всякого события представляет собой сумму амплитуд различных альтернативных возможностей осуществления этого события. Это позволяет изучать ее многими различными способами в зависимости от того, на какие классы можно подразделить альтернативы. Наиболее детальная картина получается при условии, что частица при переходе из состояния  в состояние  за данный промежуток времени совершает вполне определенное движение (т. е. определенным образом изменяет свои координаты в зависимости от времени), описывая конкретную траекторию в пространстве и времени. С каждым таким возможным движением мы будем связывать одну амплитуду; полная же амплитуда вероятности будет суммой вкладов от всех траекторий.

Эту мысль можно пояснить, продолжив рассмотрение нашего эксперимента с двумя отверстиями. Пусть между источником и отверстием помещена пара дополнительных экранов  и  (фиг. 1.9). В каждом из них проделаем по нескольку отверстий, которые обозначим  и . Для простоты будем предполагать, что движение электронов происходит в плоскости . В таком случае имеется несколько альтернативных траекторий, которые может выбрать электрон при своем движении от источника к отверстию в экране . Он мог бы направиться сначала к отверстию , далее к  и затем к отверстию 1 или же мог бы, выйдя из источника, пролететь через , затем через  и, наконец, через отверстие 1 и т. д. Каждой из этих траекторий соответствует своя собственная амплитуда, и полная амплитуда вероятности будет их суммой.

Фиг. 1.9. Опыт с несколькими отверстиями в экранах.

Когда в экранах  и , помещенных между источником на экране  и конечной точкой на экране , проделано несколько отверстий, для каждого электрона имеется несколько альтернативных траекторий. Каждой из этих траекторий соответствует своя амплитуда вероятности. Чтобы определить результат какого-либо эксперимента, в котором открыты все отверстия, необходимо просуммировать все эти амплитуды по одной для каждой возможной траектории.

Предположим теперь, что мы увеличиваем число отверстий в экранах  и  до тех пор, пока от экранов ничего не останется. Траектория электрона должна определяться в этом случае высотой , на которой электрон пересекает несуществующий экран , расположенный от источника на расстоянии , а также высотой  и расстоянием , как это показано на фиг. 1.10. Каждой паре значений  и  здесь соответствует своя амплитуда. Принцип суперпозиции по-прежнему остается в силе, и мы должны взять сумму (теперь уже интеграл) этих амплитуд по всем возможным значениям  и .

Фиг. 1.10. Число отверстий стремится к бесконечности.

В экранах, расположенных на расстояниях  и  от экрана , проделывается все большее и большее число отверстий. В конце концов экраны полностью заполняются отверстиями, и получается непрерывная область точек вверх и вниз от центров экранов, в которых электрон может пересекать линию экрана. В этом случае сумма альтернатив превращается в двойной интеграл по непрерывным параметрам  и  - альтернативным высотам, на которых электрон пересекает экраны.

Следующий шаг, очевидно, состоит в размещении между источником и отверстиями все большего и большего числа экранов, причем каждый из них должен сплошь покрываться отверстиями. Продолжая этот процесс, мы будем все более уточнять траекторию электрона, пока, наконец, не придем к вполне разумному выводу, что траектория является просто определенной функцией высоты от расстояния, т. е. . При этом мы должны применять принцип суперпозиции до тех пор, пока не получим интеграл от амплитуды по всем траекториям.

Теперь можно дать значительно более точное описание движения. Мы можем не только представить себе определенную траекторию  в пространстве, но и точно указать момент времени, в который проходится каждая пространственная точка. Следовательно, траектория (в нашем двумерном случае) будет задана, если известны две функции:  и . Таким образом, мы приходим к представлению об амплитуде, соответствующей определенной траектории , . Полная амплитуда вероятности попадания в конечную точку представляет собой сумму или интеграл от этой амплитуды по всем возможным траекториям.

Задаче более точного математического определения такого понятия суммы или интеграла по всем траекториям будет посвящена гл. 2.

Там же мы получим выражение амплитуды вероятности для любой заданной траектории. После того как это выражение найдено, законы нерелятивистской квантовой механики оказываются полностью установленными и останется лишь продемонстрировать их применение в ряде интересных специальных случаев.