§ 1. Классическая электродинамика

Уравнения Максвелла. Начнем изучение электромагнитного поля, исходя из обычных классических уравнений Максвелла.

Пусть магнитная проницаемость и диэлектрическая постоянная равны их значениям для свободного пространства. Тогда уравнения Максвелла имеют вид

, (9.2)

, (9.3)

, (9.4)

, (9.5)

где - напряженность электрического поля, - напряженность магнитного поля, - скорость света, - плотность тока и - плотность заряда. Эти уравнения справедливы только в случае сохранения заряда, т. е. когда

. (9.6)

Из уравнения (9.4) следует, что пока можно записать как ротор некоторого вектора :

. (9.7)

Это соотношение еще не полностью определяет вектор , однако эту неоднозначность можно устранить, полагая

. (9.8)

Такой выбор становится нежелательным, когда мы заведомо стремимся сохранить полную релятивистскую четырехмерную симметрию уравнений. Это не означает, конечно, что результаты, полученные с помощью (9.8), не являются релятивистски-инвариантными, что было бы при произвольном выборе величины ; скорее их инвариантность не представляется очевидной. Так или иначе, мы будем рассматривать лишь нерелятивистское приближение, поскольку у нас нет простого интеграла по траекториям, соответствующего уравнению Дирака. Нашей задачей является сейчас выяснение основных свойств квантованного электромагнитного поля и рассмотрение сильно упростится, если принять условие (9.8).

Подставив в уравнение (9.5), видим, что ротор этого выражения равен нулю, и, следовательно, оно может быть представлено в виде градиента некоторого потенциала

. (9.9)

Уравнения (9.2)-(9.5) легко решаются в случае отсутствия зарядов и токов. Из (9.2), (9.8) и (9.9) мы видим, что

. (9.10)

Если , то и . При этом из уравнения (9.3), если , следует

(9.11)

[так как ]. Таким образом, каждая компонента вектора удовлетворяет волновому уравнению.

Если разложить вектор в ряд по бегущим плоским волнам

, (9.12)

то уравнение для амплитуды запишется как ; отсюда следует, что каждая компонента - амплитуда простого гармонического осциллятора с частотой . Однако в действительности существуют только две независимые поперечные волны, а компонента вектора в направлении должна быть равна нулю. Это следует из уравнения (9.8), которое можно переписать в виде

. (9.13)

Таким образом, поле в вакууме можно представить как совокупность свободных гармонических осцилляторов, причем каждому значению будут соответствовать две поперечные волны.

Задача 9.1. Покажите, что в плоской волне векторы , и взаимно перпендикулярны.

Решение уравнений Максвелла при наличии зарядов и токов. Разложим опять потенциалы и , а также плотности заряда и тока по плоским волнам:

(9.14)

Задача 9.2. Объясните, почему плотность заряда, соответствующая единичному заряду , находящемуся в точке в момент времени , имеет вид

Покажите, что Фурье-образ плотности заряда

. (9.15)

Легко видеть, что плотность тока равна . Если мы имеем систему зарядов , расположенных в точках , то выражения для и запишутся в виде

. (9.16)

При этом условие (9.13) остается справедливым, и им можно воспользоваться для упрощения некоторых выражений. Коэффициент разложения вектора равен , соответствующий коэффициент для вектора равен , наконец, коэффициент разложения имеет вид , поэтому

(9.17)

или . Функция полностью определяется плотностью заряда , и при этом нет необходимости решать какие-либо динамические дифференциальные уравнения, содержащие, например, .

Задача 9.3. Докажите, что соотношение означает следующее: величина в любой момент времени представляет собой кулоновский потенциал от всех зарядов в этот момент; так что, если, например, плотность соответствует некоторой совокупности зарядов , отстоящих на расстояние от некоторой точки, то потенциал в этой точке равен .

Именно в этом и заключается смысл уравнения (9.10).

Уравнение (9.3), которое нужно еще решить, запишем в виде

. (9.18)

При этом учтем, что и . Далее, применив равенство (9.17), заменим на и будем иметь

, (9.19)

где величину можно назвать поперечной частью тока . Из закона сохранения тока (9.6) следует, что , поэтому

. (9.20)

Последнее равенство означает, что равно разности тока и его компоненты по направлению вектора . Очевидно, .

Мы, безусловно, существенно упростили уравнения Максвелла, и если не считать мгновенного кулоновского взаимодействия между частицами, то для каждого значения вектора вся картина свелась к уравнениям для двух поперечных волн. Амплитуда колебаний каждой волны описывается гармоническим осциллятором, на который действует сила, равная компоненте тока по соответствующему направлению. Другими словами, если выбрать два направления, перпендикулярных вектору , и обозначить компоненты по этим направлениям как и , то уравнения Максвелла запишутся в виде

, (9.21)

, (9.22)

где и - компоненты вектора тока по соответствующим направлениям (спрашивается, почему можно говорить о компонентах вектора , а не вектора ?).

Принцип наименьшего действия. В квантовой электродинамике предполагается, что описываемые уравнениями (9.21) и (9.22) осцилляторы являются квантовыми. Чтобы выполнить квантование, нужно записать принцип наименьшего действия, который дает нам уравнения электромагнитного поля и уравнения движения частиц в этом поле. Определим полное действие как сумму

. (9.23)

Здесь

(9.24)

- действие для всех частиц без учета поля (если между частицами действуют и другие силы, кроме электромагнитных, их также следует включить в действие );

(9.25)

- действие, описывающее взаимодействие поля и частиц;

(9.26)

- действие свободного поля. В этих выражениях нужно варьировать функции , и .

Задача 9.4. В § 1 гл. 2 мы обсуждали вывод уравнений движения классической механики из условия экстремальности действия ( с точностью до первого порядка в разложении по ). Покажите, что уравнения Максвелла можно вывести с помощью действия, заданного выражением (9.23), если потребовать выполнения условия в первом порядке вариаций по переменным и .

Так как уравнения электродинамики имеют наиболее простой вид в переменных , то удобно выразить и действие в этих переменных. Подстановка формулы (9.14) в выражение для действия дает

(9.27)

а действие при этом принимает вид

. (9.28)

После подстановки в эти выражения Фурье-образа потенциала члены, содержащие , дают в сумме

. (9.29)

Здесь мы воспользовались формулой (9.16), а также значением интеграла . Выражение (9.29) в точности соответствует кулоновскому взаимодействию зарядов в том виде, как оно обычно применяется при рассмотрении атома, когда пренебрегают электромагнитным излучением. Включим его в функцию действия для частиц

(9.30)

и запишем . Таким образом мы разделили действие для электромагнитного поля на две части. Одна из них описывает вклад, обусловленный мгновенным кулоновским взаимодействием; оставшуюся часть назовем действием , которое соответствует полю излучения (учет излучения обеспечивает все поправки к мгновенному полю, например поправки, связанные с запаздыванием суммарного воздействия электромагнитного поля и поправки на скорость распространения этого взаимодействия, которая не превышает скорости света). Действие, соответствующее полю излучения, получится, если из функции действия выбросить члены, содержащие . В результате получим

, (9.31)

а это не что иное, как действие, описывающее осцилляторы поля излучения. Действие, обусловленное взаимодействием этих осцилляторов с частицами, равно

. (9.32)

Простая вариация полного действия по переменным и дает уравнения движения (9.21) и (9.22).

В развернутом виде действие записывается так:

, (9.33)

где и - поперечные (по отношению к вектору ) компоненты вектора . Таким образом, все законы нерелятивистской механики и классической электродинамики получаются из требования, чтобы действие , представленное суммой выражений (9.30), (9.31) и (9.33), оставалось неизменным при вариациях вдоль траекторий, заданных переменными , , . Переход к квантовой электродинамике осуществляется путем интегрирования по этим траекториям экспоненты и рассматривается в § 2.