§ 1. Классическая электродинамика
Уравнения Максвелла. Начнем изучение электромагнитного поля, исходя из обычных классических уравнений Максвелла.
Пусть магнитная проницаемость и диэлектрическая постоянная равны их значениям для свободного пространства. Тогда уравнения Максвелла имеют вид
, (9.2)
, (9.3)
, (9.4)
, (9.5)
где
- напряженность электрического поля,
- напряженность магнитного поля,
- скорость света,
- плотность тока и
- плотность заряда. Эти уравнения справедливы только в случае сохранения заряда, т. е. когда
. (9.6)
Из уравнения (9.4) следует, что пока
можно записать как ротор некоторого вектора
:
. (9.7)
Это соотношение еще не полностью определяет вектор
, однако эту неоднозначность можно устранить, полагая
. (9.8)
Такой выбор становится нежелательным, когда мы заведомо стремимся сохранить полную релятивистскую четырехмерную симметрию уравнений. Это не означает, конечно, что результаты, полученные с помощью (9.8), не являются релятивистски-инвариантными, что было бы при произвольном выборе величины
; скорее их инвариантность не представляется очевидной. Так или иначе, мы будем рассматривать лишь нерелятивистское приближение, поскольку у нас нет простого интеграла по траекториям, соответствующего уравнению Дирака. Нашей задачей является сейчас выяснение основных свойств квантованного электромагнитного поля и рассмотрение сильно упростится, если принять условие (9.8).
Подставив
в уравнение (9.5), видим, что ротор этого выражения равен нулю, и, следовательно, оно может быть представлено в виде градиента некоторого потенциала
. (9.9)
Уравнения (9.2)-(9.5) легко решаются в случае отсутствия зарядов и токов. Из (9.2), (9.8) и (9.9) мы видим, что
. (9.10)
Если
, то
и
. При этом из уравнения (9.3), если
, следует
(9.11)
[так как
]. Таким образом, каждая компонента вектора
удовлетворяет волновому уравнению.
Если разложить вектор
в ряд по бегущим плоским волнам
, (9.12)
то уравнение для амплитуды
запишется как
; отсюда следует, что каждая компонента
- амплитуда простого гармонического осциллятора с частотой
. Однако в действительности существуют только две независимые поперечные волны, а компонента вектора
в направлении
должна быть равна нулю. Это следует из уравнения (9.8), которое можно переписать в виде
. (9.13)
Таким образом, поле в вакууме можно представить как совокупность свободных гармонических осцилляторов, причем каждому значению
будут соответствовать две поперечные волны.
Задача 9.1. Покажите, что в плоской волне векторы
,
и
взаимно перпендикулярны.
Решение уравнений Максвелла при наличии зарядов и токов. Разложим опять потенциалы
и
, а также плотности заряда и тока по плоским волнам:
(9.14)
Задача 9.2. Объясните, почему плотность заряда, соответствующая единичному заряду
, находящемуся в точке
в момент времени
, имеет вид
.
Покажите, что Фурье-образ плотности заряда
. (9.15)
Легко видеть, что плотность тока
равна
. Если мы имеем систему зарядов
, расположенных в точках
, то выражения для
и
запишутся в виде
. (9.16)
При этом условие (9.13) остается справедливым, и им можно воспользоваться для упрощения некоторых выражений. Коэффициент разложения вектора
равен
, соответствующий коэффициент для вектора
равен
, наконец, коэффициент разложения
имеет вид
, поэтому
(9.17)
или
. Функция
полностью определяется плотностью заряда
, и при этом нет необходимости решать какие-либо динамические дифференциальные уравнения, содержащие, например,
.
Задача 9.3. Докажите, что соотношение
означает следующее: величина
в любой момент времени
представляет собой кулоновский потенциал от всех зарядов в этот момент; так что, если, например, плотность
соответствует некоторой совокупности зарядов
, отстоящих на расстояние
от некоторой точки, то потенциал
в этой точке равен
.
Именно в этом и заключается смысл уравнения (9.10).
Уравнение (9.3), которое нужно еще решить, запишем в виде
. (9.18)
При этом учтем, что
и
. Далее, применив равенство (9.17), заменим
на
и будем иметь
, (9.19)
где величину
можно назвать поперечной частью тока
. Из закона сохранения тока (9.6) следует, что
, поэтому
. (9.20)
Последнее равенство означает, что
равно разности тока
и его компоненты по направлению вектора
. Очевидно,
.
Мы, безусловно, существенно упростили уравнения Максвелла, и если не считать мгновенного кулоновского взаимодействия между частицами, то для каждого значения вектора
вся картина свелась к уравнениям для двух поперечных волн. Амплитуда колебаний каждой волны описывается гармоническим осциллятором, на который действует сила, равная компоненте тока по соответствующему направлению. Другими словами, если выбрать два направления, перпендикулярных вектору
, и обозначить компоненты
по этим направлениям как
и
, то уравнения Максвелла запишутся в виде
, (9.21)
, (9.22)
где
и
- компоненты вектора тока
по соответствующим направлениям (спрашивается, почему можно говорить о компонентах вектора
, а не вектора
?).
Принцип наименьшего действия. В квантовой электродинамике предполагается, что описываемые уравнениями (9.21) и (9.22) осцилляторы являются квантовыми. Чтобы выполнить квантование, нужно записать принцип наименьшего действия, который дает нам уравнения электромагнитного поля и уравнения движения частиц в этом поле. Определим полное действие как сумму
. (9.23)
Здесь
(9.24)
- действие для всех частиц без учета поля (если между частицами действуют и другие силы, кроме электромагнитных, их также следует включить в действие
);
(9.25)
- действие, описывающее взаимодействие поля и частиц;
(9.26)
- действие свободного поля. В этих выражениях нужно варьировать функции
,
и
.
Задача 9.4. В § 1 гл. 2 мы обсуждали вывод уравнений движения классической механики из условия экстремальности действия (
с точностью до первого порядка в разложении по
). Покажите, что уравнения Максвелла можно вывести с помощью действия, заданного выражением (9.23), если потребовать выполнения условия
в первом порядке вариаций по переменным
и
.
Так как уравнения электродинамики имеют наиболее простой вид в переменных
, то удобно выразить и действие в этих переменных. Подстановка формулы (9.14) в выражение для действия
дает
(9.27)
а действие
при этом принимает вид
. (9.28)
После подстановки в эти выражения Фурье-образа потенциала
члены, содержащие
, дают в сумме
. (9.29)
Здесь мы воспользовались формулой (9.16), а также значением интеграла
. Выражение (9.29) в точности соответствует кулоновскому взаимодействию зарядов в том виде, как оно обычно применяется при рассмотрении атома, когда пренебрегают электромагнитным излучением. Включим его в функцию действия для частиц
(9.30)
и запишем
. Таким образом мы разделили действие
для электромагнитного поля на две части. Одна из них описывает вклад, обусловленный мгновенным кулоновским взаимодействием; оставшуюся часть назовем действием
, которое соответствует полю излучения (учет излучения обеспечивает все поправки к мгновенному полю, например поправки, связанные с запаздыванием суммарного воздействия электромагнитного поля и поправки на скорость распространения этого взаимодействия, которая не превышает скорости света). Действие, соответствующее полю излучения, получится, если из функции действия
выбросить члены, содержащие
. В результате получим
, (9.31)
а это не что иное, как действие, описывающее осцилляторы поля излучения. Действие, обусловленное взаимодействием этих осцилляторов с частицами, равно
. (9.32)
Простая вариация полного действия
по переменным
и
дает уравнения движения (9.21) и (9.22).
В развернутом виде действие
записывается так:
, (9.33)
где
и
- поперечные (по отношению к вектору
) компоненты вектора
. Таким образом, все законы нерелятивистской механики и классической электродинамики получаются из требования, чтобы действие
, представленное суммой выражений (9.30), (9.31) и (9.33), оставалось неизменным при вариациях вдоль траекторий, заданных переменными
,
,
. Переход к квантовой электродинамике осуществляется путем интегрирования по этим траекториям экспоненты
и рассматривается в § 2.