§ 4. Взаимодействие поля с веществом
С формальной точки зрения взаимодействие поля излучения с веществом рассмотреть совсем не трудно. Функция действия, представленная формулами (9.30), (9.31) и (9.33), очевидно, соответствует взаимодействию материальной системы с осцилляторами поля излучения, и в этом случае амплитуду следует искать с помощью такого соотношения:
. (9.44)
Интегрирование по координатам осцилляторов поля излучения может быть выполнено сразу же, так как все они входят в выражение (9.44) лишь квадратичным образом. Это интегрирование и будет проделано далее.
Излучение атома. Одна из трудностей рассматриваемой проблемы заключается в громоздкости выражений, что обусловлено большим числом координат и импульсов. Поэтому, чтобы уяснить суть дела, начнем с простого случая. Будем решать задачу о вероятности излучения света отдельным атомом, применяя теорию возмущений (предполагается, что взаимодействие света и вещества, которому соответствует
, мало и разложение ведется только до членов первого порядка малости).
Если пренебречь функцией действия
, то поле излучения и вещество можно рассматривать как независимые системы. Допустим, что состояния свободного атома с волновыми функциями
имеют энергии
, где
, а символом
обозначены радиусы-векторы
всех частиц атома. Состояние поля излучения можно определить заданием всех целочисленных значений
и
.
Энергетические уровни полной системы (излучение плюс вещество при отсутствии взаимодействия между ними) равны
. (9.45)
Волновая функция этого состояния записывается в виде произведения
, (9.46)
где
- волновая функция поля излучения (произведение волновых функций гармонических осцилляторов).
Чтобы рассмотреть излучение фотона атомом, выберем такое начальное состояние, когда атом находится на некотором уровне
, а внешних фотонов нет совсем (все числа
и
равны нулю). Соответствующая волновая функция равна
, (9.47)
где
берется в виде (9.43). В конечном состоянии атом находится на другом уровне
и, кроме того, имеется один фотон, скажем, с импульсом
и поляризацией 1. В соответствии с задачей 9.8 волновая функция поля излучения имеет вид
, поэтому волновая функция конечного состояния всей системы есть
. (9.48)
Чтобы найти вероятность перехода за единицу времени (с точностью первого порядка), необходимо в соответствии с формулой (6.79) вычислить матричный элемент
возмущающего потенциала между этими состояниями. Функция действия для возмущения определяется формулой (9.32), а соответствующий ей потенциал имеет вид
, (9.49)
где, как и в задаче 9.2, ток
зависит от переменных, связанных с атомом. Этот матричный элемент равен
, (9.50)
или, в другом виде,
(9.51)
так как от координат
здесь зависит только ток
. Ожидаемые значения произведения величин
для вакуумного состояния рассматривались в задаче 9.7, где было, в частности, установлено, что интеграл

есть нуль во всех случаях, за исключением одного, а именно при
, когда он равен
. Обозначим матричный элемент
как
. Тогда матричный элемент
запишется в виде
. Вероятность перехода за единицу времени при этом равна [ср. формулу (6.94)]
. (9.52)
Обычно мы не задаемся вопросом об излучении какого-либо определенного фотона, а хотим вместо этого найти вероятность излучения произвольного фотона (с поляризацией 1) в некоторый малый телесный угол
. Для этого необходимо просуммировать
по всем значениям, соответствующим этому направлению. Число значений
в единице объема есть
; если направление
задано, то мы должны взять интеграл по
, записав
в виде
. Таким образом, вероятность перехода за единицу времени (1 сек) получим в виде
. (9.53)
Интегрирование по
даст выражение
, (9.54)
характеризующее вероятность излучения света с поляризацией 1 по направлению
в телесный угол
. Частота излучаемого света
. (9.55)
Задача 9.9. Для сложной системы в нерелятивистском случае имеем
, (9.56)
где
- единичный вектор в направлении поляризации света,
и
- заряд и радиус-вектор частицы
. Допустим, что длина волны света много больше размеров атома, т. е. квадрат модуля волновой функции, описывающей положение электрона
, спадает до нуля на расстоянии, много меньшем чем
. Покажите, что при этом экспоненту
можно аппроксимировать единицей и записать матричный элемент как
, (9.57)
где
. (9.58)
Функция
называется матричным элементом электрического дипольного момента атома, а приближение, использованное при выводе соотношения (9.57), называется дипольным приближением. Покажите, что полная вероятность излучения света в произвольном направлении за единицу времени равна
. (9.59)
[Для этого нужно проинтегрировать выражение (9.54) по всем направлениям с учетом того, что векторы
и
перпендикулярны и что существуют два возможных направления поляризации.]
Исключение переменных электромагнитного поля. Поле излучения представляется квадратичным функционалом действия, поэтому возникает возможность провести интегрирование по всем переменным электромагнитного поля. Именно это мы здесь и проделаем. Нам нужно выполнить интегрирование по всем переменным
и
в выражении (9.44). Для этого нужно еще задать начальное и конечное состояния поля излучения. Сначала выберем наиболее простой случай, считая, что в обоих случаях мы имеем состояние вакуума и все осцилляторы поля излучения переходят из состояний с нулевым числом фотонов в такие же состояния. Амплитуду перехода при этом можно записать как
, (9.60)
где
(9.61)
- функционал от переменных
, которые входят в первую часть равенства через токи
. Так как действие представляется в виде суммы вкладов от каждой моды
, где
, (9.62)
то ясно, что функционал
представляет собой произведение соответствующих сомножителей. Интеграл для произвольной моды можно записать как
(9.63)
С таким типом интегралов по траекториям мы уже неоднократно встречались, если не считать некоторого усложнения, обусловленного комплексным характером переменных, от которых сначала нужно перейти к действительным переменным. Интеграл точно такого же типа рассматривался в § 9 гл. 8 с той лишь разницей, что функция
в формуле (8.136) теперь заменяется на
и
равно
; тогда окончательное выражение (9.63) совпадет с формулой (8.138). Произведение интегралов типа (9.63) для всех
и обеих поляризаций дает функционал
, где
. (9.64)
Таким образом, вопрос о переходе вакуума в вакуум полностью решается методом интегрирования лишь по траекториям переменных, относящихся к веществу:
. (9.65)
Обсудим ряд следствий, вытекающих из этого результата (случай, когда начальное или конечное состояние отлично от вакуумного, разбирается в гл. 10).
Основной вывод имеет простой смысл: функцией действия для вещества является не
, а модифицированная функция
. Это изменение обусловлено взаимодействием вещества с электромагнитным полем.
Такое толкование не является строго классическим, так как функция действия
- комплексная. Можно показать, что законы классической физики, которые получаются из принципа наименьшего действия при использовании только действительной части
, в точности совпадают с комбинацией уравнений Максвелла и законов Ньютона. Однако при этом никак не учитывается то обстоятельство, что решения уравнений Максвелла берутся только в виде запаздывающих волн (в самом деле, условие выбора запаздывающих волн нельзя выразить с помощью принципа наименьшего действия, если действие выражается только через координаты частиц; такая функция действия соответствует полусумме опережающего и запаздывающего решений [6 ]).
Займемся теперь исследованием нашего полного квантовомеханического комплексного выражения для
, в котором учитывается условие запаздывания.
Первое приближение теории возмущений. Точное вычисление интеграла по
является слишком сложной задачей, поэтому воспользуемся тем, что в выражения для токов в действии
входит электрический заряд частиц
. Действие
пропорционально
или в безразмерной форме - постоянной тонкой структуры

- весьма малой величине, точное значение которой берется из опыта. Можно ожидать, что эффекты, обусловленные действием
, малы. Мы уже знаем, что, например, значения атомных уровней теория Шредингера дает вполне точно, поэтому здесь могут быть лишь малые ошибки, возникающие из-за пренебрежения действием
.
Рассмотрим эффекты, обусловленные действием
, в первом порядке по
, соответственно - во втором порядке по
, используя первоначальное выражение действия в виде (9.32). Введем
- амплитуду вероятности перехода материальной системы из начального состояния
в такое же конечное состояние подобно тому, как это делалось в § 5 гл. 6. Если пренебречь вкладом от
, то в нулевом порядке будем иметь
. (9.66)
Член первого порядка
(9.67)
Будем считать, что
; это дает коэффициент, равный двум. Аналогичное выражение уже вычислялось в § 1 гл. 5. Для данного случая получаем
,
где
. (9.68)
Выделив в этом выражении действительную и мнимую части, можно записать его в виде
.
Действительная часть
соответствует малому сдвигу энергетических уровней, впервые экспериментально обнаруженному Лэмбом и Ризерфордом - так называемому лэмбовскому сдвигу. Этот сдвиг составляет
. (9.69)
Мнимая часть
имеет вид
(9.70)
Амплитуда вероятности того, что атом остается в возбужденном состоянии и не испускает фотонов, записывается теперь как
и соответствующая вероятность равна
. Таким образом, вероятность того, что атом, остается в состоянии
, экспоненциально уменьшается в зависимости от величины декремента затухания
.
Физически это уменьшение вероятности объясняется тем, что атом в состоянии
может испустить фотон и перейти в более низкое состояние
. Сравнивая выражения (9.53) и (9.70), мы убеждаемся, что
действительно есть полная вероятность перехода за единицу времени из состояния
во все нижележащие состояния
.