§ 6. Лэмбовский сдвиг

В соответствии с уравнением Шредингера второй уровень атома водорода является вырожденным. Энергии уровней  и  имеют одинаковое значение. Из уравнения Дирака также следует вырождение уровней  и . В 1946 г. Лэмб и Ризерфорд обнаружили, что в действительности наблюдается небольшое дополнительное расщепление, относительная величина которого равна приблизительно , вследствие чего уровень  оказывается сдвинутым вверх на 1057,1 Мгц. Теоретики предсказывали, что такая разность энергий может возникать из-за эффектов, обусловленных членом , однако вплоть до работы Бете и Вайскопфа в 1947 г. бесконечности в расходящихся интегралах сводили на нет все попытки вычислить эту разность. Бете и Вайскопф рассуждали следующим образом.

Прежде всего, поскольку

,                       (9.72)

энергия (9.71) представляет собой сумму трех членов:

,                    (9.73)

где

,                     (9.74)

,             (9.75)

.                   (9.76)

Член  и бесконечность, связанная с кулоновским членом , не зависят от состояния электрона. Они будут (мы надеемся на это) конечными в будущей теории. К массе покоя электронов эти члены дают поправку . Если  - механическая масса (т. е. масса неэлектромагнитного происхождения), то реально наблюдаемая экспериментальная масса , где .

Такую поправку к энергии покоя, составляющей часть полной энергии атома водорода, можно было, конечно, ожидать заранее, однако мы учитываем ее автоматически, если все энергии связи измеряются относительно энергии полностью ионизованного состояния, когда все частицы свободны. Поправка  относится к покоящемуся электрону, и она совершенно не зависит от его движения или от каких-либо характеристик состояния, в котором находится этот электрон.

Выражение для  можно вычислить из суммы по , которая в соответствии с правилами матричного умножения дает выражение . После интегрирования по всем направлениям вектора  отсюда получается член  и, следовательно,

.                       (9.77)

Опять-таки можно надеяться, что когда-нибудь это выражение удастся сделать сходящимся. Такая добавка к энергии существует уже в случае свободного электрона. Интерпретируется она следующим образом: если меняется масса, то выражение для кинетической энергии  следовало бы заменить выражением

,             (9.78)

а член  как раз должен соответствовать добавке . Однако мы уже учитывали этот член, когда с помощью уравнения Шредингера вычисляли значения энергетических уровней и использовали выражение  с экспериментально наблюдаемой массой . Поправка  однозначно отождествляется с добавкой к кинетической энергии, поскольку она является единственной поправкой для движущегося свободного электрона и пропорциональна кинетической энергии. Наконец, если даже интерпретация этих поправок является неверной, то при вычислении разности энергий для состояний  и  эти поправки выпадают, так как значения  и  одинаковы для всех состояний; одинаковыми являются и значения , поскольку для состояний  и  матричный элемент  один и тот же.

При вычислении поправки  предполагалось вполне оправданным дипольное приближение. В этом случае матричные элементы не зависят от , и, вычислив интеграл

,                 (9.79)

мы получим

.                (9.80)

Поскольку для атома водорода известны состояния и матричные элементы, по которым проводится суммирование в (9.80), то сумма может быть вычислена и неясным остается лишь вопрос о выборе значения . Бете обосновал свой выбор этого параметра тем, что нерелятивистское приближение становится несправедливым в области больших значений , и если проделать последовательно релятивистские вычисления, то значение  оказалось бы, по-видимому, порядка . Выбор значения  дал для сдвига - и -уровней величину, равную приблизительно 1000 Мгц, так что Бете мог рассчитывать, что он находится на правильном пути.

Оставалось еще сделать релятивистский расчет, используя дираковские волновую функцию и состояния. Только на этом пути можно было дать точное определение величины . Однако это оказалось совсем не простым делом, так как возникали трудности с идентификацией различных расходящихся членов. Если применить к этим членам процедуру обрезания при некотором максимальном значении импульса и иметь дело с полученными таким образом конечными величинами, то и тогда ситуация не проясняется, так как такая процедура не является релятивистски-инвариантной вследствие того, что с импульсом и энергией мы обращаемся здесь по-разному. (Одно следствие этого обстоятельства уже отмечалось нами в примечании ранее.) Метод, устраняющий эти затруднения, был развит Швингером, который показал, как можно в явном виде сохранить релятивистскую инвариантность на протяжении всего расчета и одновременно идентифицировать все бесконечные члены. Другой метод, разработанный Фейнманом, сводился к релятивистски инвариантной процедуре обрезания бесконечных интегралов. Рассмотрим этот метод подробнее.

Полный эффект от действия электромагнитного поля, которое на этот раз включает в себя и кулоновское взаимодействие, учитывается дополнительным членом  в функции действия. Релятивистская инвариантность функции , представленной в форме, подобной (9.64), далеко не очевидна, так как в эту формулу входят переменные  и , а не  и  или  и . Выразим функцию , используя в качестве переменных частоту  и волновое число . Для этого прежде всего заметим, что интеграл

,                (9.81)

или

.               (9.82)

Если определить

,                   (9.83)

то функция  запишется в виде

.               (9.84)

Релятивистская симметрия этого выражения относительно переменных  и  вполне очевидна, так как выражение  - инвариант по отношению к преобразованиям Лоренца. Однако токи входят в выражение (9.84) релятивистски несимметрично.

Нам была бы нужна релятивистски-инвариантная комбинация типа , так как величины  и  образуют четырехмерный вектор. Чтобы получить такую комбинацию, положим

;                  (9.85)

тогда часть функции действия, соответствующая кулоновскому взаимодействию, запишется в виде

,                     (9.86)

причем последний интеграл образуется здесь умножением числителя и знаменателя предыдущей подынтегральной функции на . Закон сохранения тока

                (9.87)

запишется теперь как

.                      (9.88)

С другой стороны, если обозначить через  компоненту вектора  в направлении , то  и

.                       (9.89)

Сумма трех токовых членов представляет собой не что иное, как скалярное произведение ; поэтому выражение (9.89) - скаляр и его релятивистская инвариантность очевидна.

Учитывая неполноту наших сегодняшних представлений о квантовых законах взаимодействия, предположим, что расходящиеся интегралы можно регуляризировать простым введением в подынтегральное выражение релятивистски-инвариантного множителя

,

где величина  - некоторая достаточно большая частота. При малых значениях величин  и  этот множитель близок к единице, в то время как для высоких частот он обрезает подынтегральную функцию. Очевидно, что такая операция не нарушает релятивистской инвариантности интеграла. Теперь все физические величины должны вычисляться нами с учетом того, что действие  содержит этот обрезающий множитель. Если, подобно лэмбовскому сдвигу они будут нечувствительны к выбору конкретного значения  (лишь бы это значение было достаточно велико), то теоретический результат можно считать достоверным. Если же результат расчета существенно зависит от выбора  как это имеет место, например, для разности масс нейтрального и заряженного пионов), то его количественную величину установить невозможно, поскольку обрезающая функция произвольна, а сам прием с ее введением уже нельзя считать удовлетворительным.

Таково состояние квантовой электродинамики на сегодняшний день.

Задача 9.11. Покажите, что метод обрезающей функции действительно не является вполне удовлетворительным теоретически. Для этого покажите, что величина , вычислявшаяся в § 4 гл. 9, изменяется после введения обрезания, тогда как вероятность излучения реального фотона не должна изменяться (для него  и функция обрезания точно равна единице). Таким образом, нарушился бы баланс вероятностей и сумма их по всем возможным событиям (фотон излучился или не излучился) стала бы отличной от единицы.

Трудность, возникающая в связи с этой проблемой, до сих пор остается неразрешенной. Нам пока не известно никакой модификации квантовой электродинамики в области высоких частот, которая одновременно сделала бы все результаты конечными, не нарушала бы релятивистской инвариантности и сохраняла значение суммы вероятностей всех альтернатив равным единице.

Задача 9.12. Используя соотношение

,               (9.90)

перейдите в функции действия  к пространственным координатам. [Замечание: функцию  часто записывают как ; мы тоже пользуемся этим обозначением.] В результате должно получиться

                       (9.91)