§ 7. Излучение света
В § 4 гл. 9 мы нашли выражение для амплитуды вероятности того, что поведение материальной системы зависит от ее взаимодействия с электромагнитным полем; это выражается формулой (9.60) и последующими выкладками. Однако наш вывод относился лишь к специальному случаю, когда начальное и конечное состояния поля являются вакуумными и не содержат фотонов. Мы видели, что при этом действие
в интегралах по траекториям следует заменять на эффективное действие
.
В общем случае фотоны поля присутствуют как в начале, так и в конце процесса. Для примера рассмотрим случай, когда в начальном состоянии нет ни одного фотона, а в конечном участвует один фотон с импульсом
и поляризацией 1. Единственное изменение, которое при этом вносится в наши предыдущие расчеты, касается интеграла для действия
, т. е. выражения (9.61). Теперь мы должны пользоваться соотношением
, (9.92)
где интегрирование по траекториям выполняется между начальным состоянием вакуума и конечным, содержащим то же состояние вакуума плюс один фотон. В этом случае каждый осциллятор, кроме осциллятора
переходит из начального состояния
в такое же конечное состояние; поэтому интеграл для всех этих осцилляторов не изменяется. Изменится лишь вклад от осциллятора
, который теперь становится равным
. (9.93)
Это выражение такого же типа, как и выражение (9.63), за исключением того, что переход осциллятора совершается между состояниями
и
, тогда как ранее конечное состояние считалось также вакуумным. В § 9 гл. 8 мы рассмотрели поведение гармонического осциллятора под действием внешней силы; теперь воспользуемся этим результатом и запишем
, (9.94)
где
- вычислявшееся выше выражение для перехода из вакуумного в вакуумное состояние. Мы видим, что появление одного фотона в конечном состоянии выражается в появлении множителя
.
Поэтому для амплитуды вероятности мы можем записать
. (9.95)
Аналогичное выражение, которое мы ранее получили с помощью теории возмущений, эквивалентно матричному элементу перехода
. (9.96)
Очевидно, что полученный результат точно совпадает с результатом теории возмущений, если при вычислении амплитуды перехода вместо действия
применить полное эффективное действие
.
Выше было показано, что введение действия
приводит к небольшому изменению энергетических уровней; формально значения энергий становятся в этом случае комплексными. Последнее означает, что излучению соответствует спектральная линия некоторой конечной ширины, называемой естественной шириной линии. Не будем углубляться далее в детали всех этих вычислений и оставим их обсуждение, как и обобщение на большее число поглощаемых и излучаемых фотонов, тем, кто захочет более детально изучить эти специальные вопросы квантовой электродинамики.