3.5.3. Дискретные модели линейных стационарных систем и стационарных случайных процессов

Рассмотрим линейную стационарную динамическую систему при действии возмущений, заданных в виде стационарных СП. Полагаем, что СП выражаются с помощью формирующих фильтров (3.31) через белый шум. Последовательное соединение исходной системы и формирующего фильтра образует эквивалентную систему [41].

Такая система может быть описана векторным ДУ

, (3.43)

где - -мерный вектор состояния, , - матрицы постоянных коэффициентов размеров и ; - -мерный гауссовский белый шум с нулевым средним и матричной КФ ; - единичная матрица. Начальные условия представляют собой гауссовский вектор ~, - корреляционная матрица, и - независимые случайные векторы.

Дискретизация системы. Для моделирования системы (3.43) на цифровой ЭВМ перейдем к дискретной модели. Выразим через матричный экспоненциал

; (3.44)

. (3.45)

Используя свойство , представим процесс и момент в следующем виде:

, (3.46)

где - шаг дискретизации.

Соотношению (3.46) соответствует рекуррентное уравнение

, (3.47)

где ; ;

. (3.48)

Векторы являются независимыми гауссовскими ~ и не зависят от . Корреляционная матрица имеет вид

, . (3.49)

Представим в виде

, (3.50)

где - матрица порядка , - ранг матрицы .

Здесь матрица находится по с помощью алгоритма (2.20)-(2.22). Тогда может быть выражен через ~ равенством . Отсюда и из формулы (3.47) следует уравнение

. (3.51)

Уравнение (3.51) может использоваться для моделирования динамической системы (2.34) на ЭВМ, а также для получения реализации стационарных СП, заданных уравнением формирующего фильтра вида (2.43). Моделирующий алгоритм, основанный на уравнении (3.51), не имеет методических ошибок. Алгоритм позволяет воспроизводить на ЭВМ случайные последовательности с заданными КФ [41].

Корреляционные моменты. Определение начальных условий для компенсации переходных процессов. Корреляционная матрица , как следует из уравнения (3.51), определяется рекуррентным соотношением

. (3.52)

Примем далее, что матрица в системе (3.43) – матрица Гурвица, т. е. ее собственные числа удовлетворяют условию .

В силу (3.43) матричная КФ при равна

Отсюда, учитывая некоррелированность процесса и его независимость от , после взятия математического ожидания получаем формулу

Здесь выражение в скобках равно корреляционной матрице процесса . При справедливо равенство .

После замены переменной интегрирования и функция примет вид

Для матриц Гурвица имеем последовательно равенства:

;

Эти равенства означают, что в системе (3.43) асимптотически устанавливаются стационарные СП с нулевым средним и корреляционной матрицей .

Матрица находится предельным переходом в уравнении (3.52) при . Переходя в формуле (3.43) к пределу, получаем линейное алгебраическое уравнение

. (3.53)

Матрицу можно также найти из соотношения (3.34). Если положить в (3.52) , то из формулы (3.53) получаем равенства .

Это означает, что корреляционные свойства процесса не изменяются с течением времени. В системе (3.43) отсутствуют переходные процессы, а стационарный процесс устанавливается, начиная с момента , поэтому для устранения переходных процессов в уравнении (3.51) необходимо положить ~.

Матрица находится из матричной системы ДУ

(3.54)

интегрированием выражения (3.54) на промежутке при начальном условии . После интегрирования получаем . Для приближенных вычислений можно пользоваться формулой (3.44), ограничиваясь конечным числом членов:

. (3.55)

Рассмотрим, какой вид имеет уравнение (3.51) при малом шаге . В (3.55) отбросим члены второго и высшего порядка малости. Тогда получим , . После подстановки этих выражений в формулу (3.51) следует приближенное равенство

При стремлении к нулю получаем

Это выражение соответствует формуле (3.37), выведенной ранее другим способом.

Моделирующий алгоритм. Алгоритм цифрового моделирования включает следующие операции [41]:

1. Модель динамической системы или формирующего фильтра приводится к виду (3.43).

2. Вычисляется -мерная матрица . Для этого раз интегрируется система

; , (3.56)

где - -й столбец единичной матрицы , - -мерный вектор. Решение системы (3.56) в момент дает -й столбец матрицы .

3. Вычисляется матрица . В соответствии с формулой (3.49) ее элементы равны

, , (3.57)

где - компоненты матрицы .

Для определения раз интегрируются системы ДУ:

(3.58)

Здесь - -й столбец матрицы , . В результате суммирования величин по находятся элементы симметрической матрицы .

4. По рекуррентному алгоритму (3.52) вычисляется корреляционная матрица . В качестве можно принять любую неотрицательно определенную симметрическую матрицу, например нулевую. Выбор оказывает влияние только на время переходного процесса. Итеративный процесс (3.52) заканчивается, когда матрица примет с заданной точностью установившееся значение.

5. С помощью алгоритма (2.20)-(2.22) вычисляется матрица размера , определяемая соотношением (3.50).

6. Разыгрывается вектор начальных условий; ~ или ~ при моделировании стационарных процессов и установившихся режимов движения (3.43). Для этого также применяются алгоритмы (2.20)-(2.22). Разыгрыванием начального условия заканчивается подготовительный этап вычислений.

7. Выполняется цифровое моделирование динамической системы или стационарного СП по формуле (3.51).

Сравнивая алгоритм (3.51) с методами моделирования стационарных процессов, рассмотренными в п. 3.5.1 и п. 3.5.2, можно отметить следующее: алгоритм не содержит методических ошибок, т. е. статистические характеристики генерируемой последовательности и выборки с шагом из реализации процесса с непрерывным временем совпадают; подготовительный этап не содержит операций, выполняемых только аналитическими методами, – все операции выполняются численно с использованием стандартных процедур; при моделировании отсутствуют переходные нестационарные процессы; исходными данными являются не спектральные и корреляционные характеристики, а матрицы марковского процесса (3.43), определение которых, как правило, не вызывает трудностей. Причем для векторных процессов задание пары на практике часто являются более естественным способом описания, чем матричные корреляционные или спектральные характеристики. Данный метод может иметь преимущества по сравнению с известными методами для процессов со спектрами относительно высокого порядка.

С использованием дискретной модели (3.51) могут решаться задачи статистического анализа линейных стационарных систем. Дисперсии и корреляционные моменты фазовых координат системы (3.43) являются компонентами матрицы или матрицы в установившемся режиме. Эти матрицы находим из уравнений (3.52) и (3.53). Рассмотрим матрицу

Ее элементы представляют собой КФ и взаимные КФ. Как следует из уравнения (3.51)

. (3.59)

В установившемся режиме для стационарных процессов соотношение (3.59) принимает вид

. (3.60)

При большом в выражении (3.43) применение формул (3.52), (3.53) и (3.59), (3.60) позволяет значительно сократить объем промежуточных вычислений по сравнению с известными методами анализа непрерывных систем [23, 32].

Пример 3.1. Частным случаем системы (3.43) является марковский гауссовский стационарный процесс первого порядка [5, 41]. Его нормированная КФ равна , уравнение (3.43) имеет вид

, , . (3.61)

Формулы (3.47)-(3.50) дают для коэффициентов дискретной модели (3.51) следующие выражения:

, , , .

Модель (3.51) примет вид

, ~.

Пример 3.2. Рассмотрим стационарный СП , имеющий спектр второго порядка [41]

. (3.62)

Используя соотношения (3.32) и (3.33), представим его в виде компоненты марковского процесса

(3.63)

где , . Для исключения переходных процессов в уравнении (3.63) необходимо, чтобы начальное условие моделировалось в виде двумерного гауссовского вектора ~, где корреляционная матрица находится из (3.34) или (3.53). Решение уравнения (3.34) для данной системы дает следующие значения :