3.5.4. Моделирование стационарных процессов с типовыми корреляционными функциями

Во многих радиотехнических системах наблюдаются сигналы, которые достаточно хорошо описываются моделями стационарных СП с типовыми КФ [4]. Возмущения в динамических системах часто задаются также в виде гауссовских стационарных процессов с типовыми КФ и дробно-рациональными спектральными плотностями [1, 41].

Основываясь на рассмотренных в пп. 3.5.1-3.5.3 методах, получим алгоритмы для моделирования гауссовских стационарных СП с некоторыми типами КФ. В табл. 3.1 приведены КФ , спектральные плотности СП и соответствующие им передаточные функции формирующих фильтров.

Таблица 3.1

№
1
2
3
4

Приведенные в табл. 3.1 типовые КФ имеют следующие случайные возмущения, встречающиеся в приложениях: атмосферная турбулентность; шумы/помехи в следящих системах и информационно-измерительных устройствах; неоднородности земной поверхности; сейсмические нагрузки; характеристики потоков событий и др. [41]

Системы ДУ вида (3.37) для моделирования формирующих фильтров на ЭВМ представлены в табл. 3.2. При этом . Там же даны значения шага интегрирования , при котором обеспечивается заданная точность воспроизведения спектральной плотности (3.35) в установленном диапазоне частот. КФ получается в результате предельного перехода при из КФ .

Моделирующие алгоритмы получаются из формул табл. 3.2 при . Для исключения переходного процесса начальные условия в ДУ (табл. 3.2) следует задавать как реализацию случайного вектора ~. Подставляя в (3.64) параметры КФ, определяем корреляционные моменты ; , значения и приведены в табл. 3.3.

Таблица 3.2

№	Уравнения фильтра	Параметры	при
1		;
2		; ; ;
3		; ;
4		; ; ;

Таблица 3.3

Получим дискретные модели, позволяющие моделировать процессы с типовыми КФ без методических ошибок. Процесс с экспоненциальной КФ рассматривался в примере 3.1 (3.61). Процессы с КФ , приведенными в табл. 3.1, имеют спектры второго порядка вида (3.62). Представление в виде компоненты марковского процесса имеет вид (3.63), где , а значения остальных параметров приведены в табл. 2.4. Дискретная модель определяется уравнениями (3.69), где значения определяются подстановкой данных табл. 3.4 в формулы (3.66)-(3.67). Окончательные выражения для через параметры КФ приведены в табл. 3.5.

Коэффициенты связаны с формулами (3.68). Стационарные СП с дробно-рациональной спектральной плотностью (3.62) могут моделироваться с помощью уравнения типа авторегрессии - скользящего среднего [2, 41]:

, ~. (3.70)

Таблица 3.4

Таблица 3.5









; ; ; ; ; ;

Для определения параметров уравнения (3.70) найдем спектральную плотность последовательности :

Функция является элементом матричной спектральной плотности последовательности (3.69) и определяется формулой

(3.71)

где , - матрица, сопряженная по Эрмиту к . Обратная к матрице порядка легко находится с помощью присоединенной матрицы. Подставив в формулу (3.71) элементы матриц и , получим выражение для спектральной плотности:

где в знаменателе – определитель матрицы , постоянные равны

; ;

;

Для процессов с типовыми КФ , отсюда получаем

; .

Здесь для КФ нужно положить . Для определения коэффициентов выполним факторизацию числителя, т. е. представим его в виде

Корни трехчлена имеют вид .

В качестве примем тот из корней, который по модулю меньше единицы, он определяется формулой

Второй корень равен . Разлагая трехчлен на линейные множители, преобразуем к виду

где - положительная величина. Отсюда следует

где , , .

Для того, чтобы избавиться от переходного процесса, необходимо разыгрывать начальные условия как гауссовский четырехмерный случайный вектор с нулевым средним и корреляционной матрицей

Для удобства пользования дискретный алгоритм моделирования процессов с типовыми КФ и его параметры представлены в табл. 3.6. Приведенные в таблице выражения совпадают с формулами табл. 3.2.

Таблица 3.6

Алгоритм
	–
		; ; ; ; ; .