5.1.2. Простейший поток

Если поток событий обладает тремя названными свойствами, то он называется простейшим (или стационарным пуассоновским) потоком. Простейший поток играет среди потоков событий особую роль, до некоторой степени близкую к роли нормального закона среди других законов распределения. Можно доказать, что при суммировании (взаимном наложении) большого числа ординарных, стационарных потоков с последействием получается поток близкий к простейшему.

Пусть имеется ряд независимых потоков , имеющих одинаковое распределение. «Суммирование» потоков состоит в том, что все моменты появления событий переносятся на одну и ту же ось времени . Рассмотрим на оси два неперекрывающихся отрезка (рис. 5.3). Каждая из точек, попадающих в эти отрезки, случайным образом может оказаться принадлежащей тому или иному потоку, и по мере увеличения удельный вес точек, принадлежащих одному и тому же потоку (и, значит, зависимых), уменьшается, а остальные точки принадлежат разным потокам и появляются на отрезках независимо друг от друга. При увеличении суммарный поток будет терять последействие и приближаться к простейшему. На практике достаточно сложить 4-5 потоков, чтобы получить поток, достаточно близкий к простейшему.

Важной характеристикой является интенсивность потока, определяемая как предел

, (5.2)

где — вероятность того, что на интервале появятся одна или более заявок. Для стационарного потока его интенсивность не зависит от времени и равна среднему числу событий в единицу времени.

Рассмотрим на оси простейший поток событий. Выделим произвольный участок времени длиной . Число точек , попадающих на участок , распределено по закону Пуассона

. (5.3)

В частности, вероятность того, что не произойдет ни одного события ; вероятность появления ровно одного события .

Важной характеристикой потока является закон распределения случайного интервала между соседними событиями. Функция распределения для простейшего потока находится следующим образом: = и .

Дифференцируя , найдем ПРВ интервалов между событиями простейшего потока:

. (5.4)

Математическое ожидание интервала , распределенного по показательному закону , а дисперсия .

Следует заметить, что кроме характеристик входного потока заявок, режим работы СМО зависит еще от характеристик производительности самой системы: числа каналов и быстродействия каждого канала. Одной из важнейших величин, связанных с системой, является время обслуживания одной заявки .

Рассмотрим СВ и обозначим ее функцию распределения: , а - ПРВ. Для практики особый интерес представляет случай, когда величина имеет показательное распределение

, ,

где параметр называется интенсивностью обслуживания.

Как известно параметр имеет смысл «плотности потока заявок». Аналогично, величину можно характеризовать как «плотность потока освобождений» занятого канала. Представим себе канал, непрерывно занятый (бесперебойно снабжаемый заявками); тогда очевидно, в этом канале будет иметь место простейший поток освобождений с плотностью .