5.1.3. Потоки с ограниченным последействиемРассмотрим ординарный стационарный поток однородных событий с последействием. Такой поток называется потоком Пальма, если промежутки времени , между последовательными событиями представляют собой независимые СВ, подчиняющиеся в общем случае закону распределения, отличающемуся от (5.4). Потоки Пальма часто получаются в виде выходных потоков СМО. Если на какую-либо СМО поступает поток заявок, то он этой системой разделяется на два: поток обслуженных заявок и поток необслуженных заявок, который, в свою очередь, поступает на какую-либо другую СМО. Теорема Пальма: пусть на СМО поступает поток заявок типа Пальма, причем заявка, заставшая все каналы занятыми, получает отказ (не обслуживается); если при этом время обслуживания имеет показательный закон распределения, то поток необслуженных заявок также является потоком Пальма. В частности, если входной поток заявок будет простейшим, то поток необслуженных заявок, не будучи простейшим, будет все же иметь ограниченное последействие. Потоки, у которых , определяются единственным законом распределения и называются рекуррентными (стационарными) потоками. Потоки с ограниченным последействием, у которых , называются рекуррентными потоками с запаздыванием. Они задаются двумя законами распределения и . Здесь характеризует ПРВ временного интервала между -й и -й заявками. Рассмотрим моделирование потоков с ограниченным последействием. Для получения реализаций последовательности моментов наступления событий , достаточно сформировать последовательность реализаций СВ с заданными законами распределения соответственно и вычислить моменты наступления событий: . Моделирование рекуррентных потоков упрощается еще и тем, что СВ имеют одинаковый закон распределения.
Пример потоков с ограниченным последействием – потоки Эрланга, которые образуются «просеиванием» простейшего потока (рис. 5.4). Если в простейшем потоке выбросить каждую вторую точку, то оставшиеся точки образуют поток, называемый потоком Эрланга первого порядка . Такой поток является потоком Пальма, поскольку величины , получаются суммированием независимых интервалов. Вообще, потоком Эрланга -го порядка называется поток, получаемый из простейшего, если сохранить каждую ‑ую точку, а остальные выбросить. Найдем закон распределения промежутка времени между соседними событиями в потоке Эрланга -го порядка . Рассмотрим на оси простейший поток с интервалами . Величина представляет собой сумму независимых СВ , где - независимые СВ с экспоненциальным распределением. Обозначим ПРВ величины для потока . Произведение есть вероятность того, что величина примет значение между и . Следовательно, последняя точка промежутка должна попасть на элементарный участок , а предыдущие точек простейшего потока – на участок . Вероятность первого события равна ; вероятность второго события . Перемножая эти вероятности, получим . При находим точное равенство для ПРВ интервалов времени для потока Эрланга -го порядка , . (5.5) Заметим, что математическое ожидание , а дисперсия интервалов между событиями в потоке Эрланга . Интенсивность потока Эрланга -го порядка . Таким образом, при увеличении порядка увеличиваются математическое ожидание и дисперсия промежутка времени между событиями, а интенсивность потока падает. Рассмотрим, как будут изменяться характеристики потока Эрланга при увеличении , если его интенсивность будет сохраняться постоянной. Пронормируем величину так, чтобы ее математическое ожидание (и, следовательно, интенсивность потока) оставались неизменными. Для этого изменим масштаб по оси времени и вместо рассмотрим величину . Назовем такой поток нормированным потоком Эрланга -го порядка. ПРВ интервала между событиями , где . Математическое ожидание величины , распределенной по закону , не зависит от . Дисперсия интервала между событиями неограниченно убывает с возрастанием . Это означает, что при неограниченном увеличении нормированный поток Эрланга приближается к регулярному потоку с постоянными интервалами, равными . Это свойство потоков Эрланга дает возможность, задаваясь различными , получать любую степень последействия: от полного отсутствия до жесткой функциональной связи между моментами появления событий .
|