5.1.3. Потоки с ограниченным последействием
Рассмотрим ординарный стационарный поток однородных событий с последействием. Такой поток называется потоком Пальма, если промежутки времени
, между последовательными событиями представляют собой независимые СВ, подчиняющиеся в общем случае закону распределения, отличающемуся от (5.4).
Потоки Пальма часто получаются в виде выходных потоков СМО. Если на какую-либо СМО поступает поток заявок, то он этой системой разделяется на два: поток обслуженных заявок и поток необслуженных заявок, который, в свою очередь, поступает на какую-либо другую СМО.
Теорема Пальма: пусть на СМО поступает поток заявок типа Пальма, причем заявка, заставшая все каналы занятыми, получает отказ (не обслуживается); если при этом время обслуживания имеет показательный закон распределения, то поток необслуженных заявок также является потоком Пальма. В частности, если входной поток заявок будет простейшим, то поток необслуженных заявок, не будучи простейшим, будет все же иметь ограниченное последействие.
Потоки, у которых
, определяются единственным законом распределения
и называются рекуррентными (стационарными) потоками. Потоки с ограниченным последействием, у которых
, называются рекуррентными потоками с запаздыванием. Они задаются двумя законами распределения
и
. Здесь
характеризует ПРВ временного интервала между
-й и
-й заявками.
Рассмотрим моделирование потоков с ограниченным последействием. Для получения реализаций последовательности моментов наступления событий
,
достаточно сформировать последовательность реализаций
СВ с заданными законами распределения
соответственно и вычислить моменты наступления событий:
. Моделирование рекуррентных потоков упрощается еще и тем, что СВ
имеют одинаковый закон распределения.

Пример потоков с ограниченным последействием – потоки Эрланга, которые образуются «просеиванием» простейшего потока (рис. 5.4). Если в простейшем потоке выбросить каждую вторую точку, то оставшиеся точки образуют поток, называемый потоком Эрланга первого порядка
. Такой поток является потоком Пальма, поскольку величины
, получаются суммированием независимых интервалов. Вообще, потоком Эрланга
-го порядка
называется поток, получаемый из простейшего, если сохранить каждую
‑ую точку, а остальные выбросить.
Найдем закон распределения промежутка времени
между соседними событиями в потоке Эрланга
-го порядка
. Рассмотрим на оси
простейший поток с интервалами
. Величина
представляет собой сумму
независимых СВ
,
где
- независимые СВ с экспоненциальным распределением.
Обозначим
ПРВ величины
для потока
. Произведение
есть вероятность того, что величина
примет значение между
и
. Следовательно, последняя точка промежутка
должна попасть на элементарный участок
, а предыдущие
точек простейшего потока – на участок
. Вероятность первого события равна
; вероятность второго события
. Перемножая эти вероятности, получим
.
При
находим точное равенство для ПРВ интервалов времени для потока Эрланга
-го порядка
,
. (5.5)
Заметим, что математическое ожидание
, а дисперсия интервалов между событиями в потоке Эрланга
. Интенсивность
потока Эрланга
-го порядка
. Таким образом, при увеличении порядка увеличиваются математическое ожидание и дисперсия промежутка времени между событиями, а интенсивность потока падает.
Рассмотрим, как будут изменяться характеристики потока Эрланга при увеличении
, если его интенсивность будет сохраняться постоянной. Пронормируем величину
так, чтобы ее математическое ожидание (и, следовательно, интенсивность потока) оставались неизменными. Для этого изменим масштаб по оси времени и вместо
рассмотрим величину
.
Назовем такой поток нормированным потоком Эрланга
-го порядка. ПРВ интервала
между событиями
,
где
.
Математическое ожидание
величины
, распределенной по закону
, не зависит от
. Дисперсия интервала
между событиями
неограниченно убывает с возрастанием
. Это означает, что при неограниченном увеличении
нормированный поток Эрланга приближается к регулярному потоку с постоянными интервалами, равными
. Это свойство потоков Эрланга дает возможность, задаваясь различными
, получать любую степень последействия: от полного отсутствия
до жесткой функциональной связи между моментами появления событий
.