2-18 ПРОЕЦИРОВАНИЕ - ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ОДНОРОДНЫХ КООРДИНАТ
Матрицу преобразования размером
для двумерных однородных координат можно разбить на четыре части
. (2-54)
Напомним, что
,
,
и
- коэффициенты масштабирования, вращения, отражения и сдвига соответственно. Элементы
и
задают перемещение. В двух предыдущих разделах коэффициенты имели значения
и
. Установим величины
и
не равными 0. Какой эффект мы получим? В данном случае полезно рассмотреть геометрическую интерпретацию.
При
и
однородные координаты преобразованных векторов всегда равны
. Геометрически данный результат интерпретируется как ограничение преобразования физической плоскостью
.
Для иллюстрации эффекта преобразования при
и
, отличных от нуля, рассмотрим следующее выражение:

. (2-55)
Здесь
,
и
. Преобразованный координатный вектор, выраженный в однородных координатах, лежит теперь в трехмерном пространстве, определенном как
. Это преобразование показано на рис. 2-14, где отрезок
, принадлежащий физической плоскости
, преобразуется в
со значением
, т. е.
.
Однако представляют интерес результаты, принадлежащие физической плоскости с
, которые можно получить путем геометрического проецирования прямой
с плоскости
обратно на плоскость
с использованием для этого проецирующих лучей, проходящих через начало координат. Из рис. 2-14, используя правило подобия треугольников, получим

или в однородных координатах
.

Рис. 2-14 Преобразование из физической плоскости
на плоскость
и проецирование обратно на физическую плоскость.
После этого, нормализуя выражение (2-55) делением однородных координат на величину
, получаем
(2-56)
или
, (2-57а)
. (2-57b)
Детально действие преобразования рассмотрим на следующем примере.