2-18 ПРОЕЦИРОВАНИЕ - ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ОДНОРОДНЫХ КООРДИНАТ

Матрицу преобразования размером для двумерных однородных координат можно разбить на четыре части

. (2-54)

Напомним, что , , и - коэффициенты масштабирования, вращения, отражения и сдвига соответственно. Элементы и задают перемещение. В двух предыдущих разделах коэффициенты имели значения и . Установим величины и не равными 0. Какой эффект мы получим? В данном случае полезно рассмотреть геометрическую интерпретацию.

При и однородные координаты преобразованных векторов всегда равны . Геометрически данный результат интерпретируется как ограничение преобразования физической плоскостью .

Для иллюстрации эффекта преобразования при и , отличных от нуля, рассмотрим следующее выражение:

. (2-55)

Здесь , и . Преобразованный координатный вектор, выраженный в однородных координатах, лежит теперь в трехмерном пространстве, определенном как . Это преобразование показано на рис. 2-14, где отрезок , принадлежащий физической плоскости , преобразуется в со значением , т. е. .

Однако представляют интерес результаты, принадлежащие физической плоскости с , которые можно получить путем геометрического проецирования прямой с плоскости обратно на плоскость с использованием для этого проецирующих лучей, проходящих через начало координат. Из рис. 2-14, используя правило подобия треугольников, получим

или в однородных координатах

Рис. 2-14 Преобразование из физической плоскости на плоскость и проецирование обратно на физическую плоскость.

После этого, нормализуя выражение (2-55) делением однородных координат на величину , получаем

(2-56)

или

, (2-57а)

. (2-57b)

Детально действие преобразования рассмотрим на следующем примере.

Пример 2-8 Проецирование в однородных координатах

Для отрезка из рис. 2-14 имеем , и ,

Таким образом, и на плоскости . Проецируя обратно на плоскость путем деления на коэффициент однородных координат, проведем двумерное преобразование точек

Результат показан на рис. 2-14.