2.3. Байесовы решающие правилаЕсли известны распределения и , т. е. если имеется статистическое описание параметров и наблюдений , то, в принципе, задача нахождения оптимального решающего правила легко решается (остаются только некоторые вычислительные проблемы). Само оптимальное решающее правило в этих условиях называется байесовым. Выведем это правило в общем случае. Оптимальное решающее правило должно минимизировать средний риск (2.8). В силу неотрицательности ПРВ минимальное значение интеграла в (2.8) достигается, если при любом минимален интеграл . Этот интеграл в силу неотрицательности минимален, когда распределение целиком сосредоточено в точке минимума апостериорного риска , т. е. при . Следовательно, байесово правило является нерандомизированным и при каждом наблюдении оптимальным является решение, минимизирующее апостериорный риск. Этого и следовало ожидать, так как апостериорный риск – это риск при известном наблюдении. Таким образом, задача построения оптимального решающего правила сводится к относительно простой задаче минимизации функции на множестве альтернатив при заданном наблюдении . Байесово решение определяется из соотношения , (2.13) что (с учетом независимости знаменателя в (2.6) и (2.7) от ) эквивалентно соотношению . (2.14) Получаемый при этом минимальный средний риск (2.15) называется байесовым, его обеспечивает само байесово решение.
|