2.4. Многоальтернативные решения

Рассмотрим важный частный случай решения, заключающегося в выборе одной из  альтернатив , т. е. . При этом , т. е. возможна одна из  ситуаций . Этой схеме соответствуют задачи проверки гипотез, обнаружения и различения сигналов, распознавания образов и т. д. Пусть функция потерь не зависит от  и

,

т. е. функция потерь задана -матрицей потерь . Тогда

,         (2.16)

где  – априорные вероятности ситуаций;  – ФП;  – вероятность наблюдения ;  – условная вероятность ситуации    при наблюдении  ;  .

Из (2.16) следует, что при имеющемся наблюдении  нужно выбрать такое решение , при котором минимальна линейная комбинация  ФП  с коэффициентами , т. е. нужно сравнить между собой  линейных комбинаций .

Отметим, что коэффициенты  этих линейных комбинаций зависят от функции потерь  и априорных вероятностей  ситуаций, но от наблюдений не зависят, т. е. концентрируют в себе априорную информацию. Значения же , входящие в , напротив, зависят от наблюдений.

В хорошей информационной системе определяющую роль в принятии решения должны играть именно наблюдения. Если это не так, то решение будет приниматься в основном по априорной информации, а сама информационная система окажется практически бесполезной. В этом заключается общая закономерность систем обработки информации: чем более высокими качествами должна обладать информационная система, тем меньшее значение имеют априорные данные о характеристиках потерь и поведении параметров .

Для рассматриваемой задачи это означает, что основное значение должен иметь разброс значений , а не разброс коэффициентов . А именно, существенно большим должно быть значение , соответствующее действительно имеющей место ситуации . Другими словами, наблюдения в хорошей информационной системе должны достаточно точно идентифицировать имеющуюся ситуацию. В этом случае априорные сведения имеют очень малое влияние, поэтому их можно выбирать практически произвольно.

Но это все, конечно, только пожелания о качествах системы обработки информации. В действительности приходится работать с той системой, какая есть. В любом случае оптимальное решение соответствует минимальной из линейных комбинаций .

 

Двухальтернативные решения

 

Рассмотрим частный случай двухальтернативных задач, когда . Этому случаю соответствует, например, задача обнаружения сигналов или других объектов, в применении к которой и произведем все выкладки.

Итак, возможны две ситуации или гипотезы  – нет сигнала и  – есть сигнал. Решение состоит в выборе одной из этих гипотез. Заданы априорные вероятности  и  и функция потерь . При этом  и  – потери при неверных решениях, а  и  – потери при верных решениях. Задана также ФП:  – распределение вероятностей наблюдений при отсутствии сигнала и  – при его наличии.

Из (2.16) следует, что решение  принимается при выполнении неравенства , т. е. если

,

или в эквивалентном виде

,

.

Естественно, что  и  (потери при верном решении должны быть меньше, чем при ошибочном). Поэтому решающее правило принимает вид

                                    (2.17)

где

 ­–                                   (2.18)

пороговое значение (порог) решающего правила.

Отношение  называется отношением правдоподобия (ОП). Оказывается, что ОП является достаточной статистикой для рассматриваемой задачи, т. е. вся информация, содержащаяся в наблюдениях z, сконцентрирована в единственном числе – значении ОП. Это значение нужно сравнить с порогом , который зависит от априорной вероятности появления сигнала  (отметим, что ) и от функции потерь , т. е. от критерия оптимальности обнаружения. Если выбрать какой-то другой критерий оптимальности, то сменится только значение порога , а правило обнаружения сохранит вид (2.17).

Отметим, что в общем случае (не обязательно для задачи обнаружения) правило (2.17) имеет вид

 

                                         (2.19)