3.4. Адаптивный байесов подходСущность этого подхода состоит в следующем. Пусть имеется существенная априорная неопределенность в описании параметров Отметим, что невозможность применения этого формализма связана именно с незнанием, а не с существованием: на самом деле в любых конкретных условиях существуют вполне определенные (хотя и неизвестные) истинные значения R(u(z))=Rист(u(z)) для всех u(z), а следовательно, существует и оптимальное решение u0(z), обращающее Rист(u(z)) в минимум. Попытаемся применить этот байесов формализм в условиях априорной неопределенности, используя сведения, содержащиеся в наблюдениях z для оценки истинного значения апостериорного риска, чтобы получить его приближенное значение Таким образом, адаптивный байесов подход в своей основе ничем не отличается от неадаптивного: главным остается минимизация среднего (апостериорного) риска. Различие только в способе достижения этой цели. При наличии априорной неопределенности приходится модифицировать обычный байесов формализм, вводя в него дополнительные процедуры. При этом повышается роль наблюдений z – они уже не просто аргументы известной функции R(u,z), но еще используются для ее восстановления. Процесс восстановления функции R(u,z) называется адаптацией, а полученные таким способом правила называются адаптивными байесовыми решающими правилами. Итак, адаптивный байесов подход основан на замене точной меры ожидаемых потерь ее оценкой на основе имеющихся данных. В этом аспекте различные способы адаптации есть различные способы оценки меры потерь. Продолжение примера 3. Правило (3.11) нельзя применить, так как неизвестно значение a. Используем наблюдения z1,….,zn для нахождения оценки
Подставляя это значение a* в (3.11), получим адаптивное правило
Если ошибка Для иллюстрации конкретизируем этот пример, взяв a>0 и нормальные распределения
Тогда (3.11) приводится к виду
а правило (3.12) – к виду
Оценкой ММП параметра a в нашем случае будет Найдем средний риск для правил (3.13) и (3.14). Средний риск для (3.13): Средний риск для (3.14): Величина
Естественно, что R*>R0, но разница
Пример 4. Имеется И Z = {zij}. На нем, возможно, есть области, отличающиеся от своего окружения большей средней яркостью. Требуется обнаружить эти области. Такая задача возникает, в частности, при поиске акваторий, перспективных для рыбного промысла – таковыми являются участки моря с более высокой средней температурой, для такого поиска используются тепловизионные И моря. Зададимся формой области W и ее окружением R, например, квадрат и рамка, показанные на рис. 3.4. Если mW и mR – математические ожидания отсчетов изображения по W и по R, то нам нужно выбрать одну из двух альтернатив
Это правило нужно применить ко всевозможным положениям W на Z. Однако mW и mR неизвестны. Построим адаптивное правило. Для этого применим в качестве оценок неизвестных mW и mR средние арифметические наблюдений:
Рис. 3.4.
где nW и nR – количество элементов в W и R. Эти оценки состоятельны. Но теперь Если все отсчеты изображения имеют ограниченные дисперсии и постоянные средние в W и R, то правило (3.16) сходится к правилу (3.15), когда nW и nR стремятся к бесконечности. При этом порог L0 стремится к нулю.
|