1.4. Анализ авторегрессионных моделей случайных полей

Установим связь КФ с параметрами скалярных и векторных авторегрессионных моделей СП. Для этого рассмотрим сначала гауссовскую скалярную модель (1.10), определяющую на бесконечной сетке скалярное гауссовское поле , которое полностью характеризуется своей КФ .

Введем оператор сдвига , где , тогда каждой функции комплексных переменных, разложимой в конечную сумму или многомерный ряд Лорана по этим переменным, можно поставить в соответствие оператор, определяемый равенством . Введенные операторы линейны и арифметическим операциями над функциями соответствуют те же операции над соответствующими им операторами. В частности, , поэтому определяет оператор, обратный к оператору, определяемому функцией . Уравнение (1.10) теперь можно записать в виде

или

. (1.19)

Применяя обратный оператор, получаем уравнение

, (1.20)

выражающее поле через элементы возмущающего поля. Разлагая в ряд , получаем представление поля в виде взвешенных сумм элементов возмущающего поля:

. (1.21)

Используя спектральное представление (1.21) и учитывая, что , находим КФ:

Заметим, что полученное выражение равно коэффициенту при в разложении произведения в ряд, следовательно,

. (1.22)

Функция комплексных переменных называется энергетическим спектром поля , коэффициенты его разложения в -мерный ряд Лорана равны соответствующим значениям КФ и могут быть найдены с помощью -кратного интеграла

, (1.23)

где ; и область интегрирования – единичная полиокружность (прямое произведение единичных окружностей) . Из (1.22) и (1.23) получаем окончательное выражение КФ:

. (1.24)

Интеграл в этом выражении может быть найден с помощью вычетов или численными методами.

Вычисления значительно упрощаются, если факторизуется, т. е. представляется в виде произведения функций одного переменного: . Тогда интеграл (1.24) превращается в произведение однократных интегралов. Если возмущающее поле состоит из коррелированных величин, то в правую часть (1.22) и в числитель интеграла (1.24) добавится энергетический спектр , так как из (1.21) следует соотношение

. (1.25)

Перейдем теперь к рассмотрению векторного стационарного СП , порождаемого на бесконечной -мерной сетке векторной авторегрессионной моделью (1.16). Поле имеет матричнозначные КФ и энергетический спектр , являющийся суммой многомерного ряда с матричными коэффициентами. Как и в скалярном случае, с помощью оператора сдвига получим представление поля в виде взвешенных сумм . Аналогично находится связь между энергетическими спектрами

и интегральное представление КФ:

, (1.26)

где ; – единичная матрица; ; – матричные коэффициенты разложения в -мерный ряд. В формуле (1.26) каждый элемент подынтегральной матрицы интегрируется независимо от остальных ее элементов.

Если возмущающее поле состоит из независимых случайных векторов, то и (1.26) принимает вид

. (1.27)

После транспонирования получим

Будем предполагать, что матрица неособенная при , тогда интегралы (1.27) существуют.

Трехточечная модель

Рассмотрим в качестве примера двумерную трехточечную авторегрессионную линейную гауссовскую модель

, (1.28)

порядок вычисления для которой показан на рис. 1.6,а. Заменим ее эквивалентной векторной моделью

В этом случае и подынтегральное выражение в (1.27) легко вычисляется:

Здесь для простоты записей и заменены на и .

Рис. 1.6.

Наибольший интерес представляет элемент матрицы , т. е. КФ модели (1.28). Остальные элементы могут быть получены простым сдвигом. Учитывая симметричность, находим

. (1.29)

Будем вычислять этот интеграл с помощью вычетов, учитывая, что только второй множитель знаменателя имеет корни внутри единичного поликруга . Разлагая дробь в (1.29) на простейшие дроби по переменным и двумя способами, получаем

(1.30)

где

При этом . Кроме того, при и при . Следовательно, только первые дроби в скобках (1.30) дают ненулевые вычеты при последовательном вычислении интегралов. Опуская несложные выкладки, приведем итоговое выражение для КФ случайного поля:

, (1.31)

где – дисперсия поля. Таким образом, для получения поля с заданной дисперсией следует взять . Если , то , , , что полностью совпадает с результатами, полученными для модели (1.11).

Если и имеют одинаковые знаки, т. е. , то интеграл (1.29) дает более сложные выражения. Например, при неотрицательных и

В этом и аналогичных случаях удобнее вычислять значения рекуррентно, исходя из уравнения КФ поля. Умножая общее линейное уравнение авторегрессии (1.10) на и находя математические ожидания, получим уравнение

. (1.32)

Математическое ожидание равно коэффициенту при в разложении по , т. е. в представлении (1.10) в виде взвешенных сумм. В частности, , если предшествует для данной развертки, так как в этом случае и независимы.

Связь соседних значений, схематически представленная на рис. 1.6,а, приводит к тому, что возмущения оказывают влияние на элементы поля в направлениях, изображенных на рис. 1.6,б. Именно поэтому лишь при одновременном выполнении неравенств и . Учитывая это замечание и вид (1.31) КФ, получаем:

что вместе с граничными условиями

позволяет последовательно вычислить необходимые значения КФ.

Как уже отмечалось, в случае изокорреляционными линиями поля являются ромбы (рис 1.7,а,б). Если , то в области эти линии по-прежнему прямые, как это следует из (1.31). В области линии выпуклы при (рис. 1.7,в) и вогнуты при (рис. 1.7,г).

Таким образом, даже незначительное обобщение модели (1.11) (отказ от частного вида ) позволяет получать СП с более широким классом КФ.

Рис. 1.7.

На рис. 1.8,а –1.8,г приведены примеры имитированных И, порождаемых моделью (1.28) с и остальными параметрами, соответствующими рис. 1.7,а – 1.7,г. Реализация на рис. 1.8,а напоминает клетчатую ткань. Эта особенность реализаций является проявлением анизотропии КФ. Действительно, КФ медленнее убывает вдоль координатных осей, чем по диагональ-

Рис. 1.8.

ным направлениям, поэтому И сильнее коррелировано вдоль осей и для реализаций характерно наличие продольных и поперечных полос. Для И на рис. 1.8,б характерны протяженные горизонтальные полосы, что объясняется большей корреляцией в горизонтальном направлении, чем в вертикальном (рис. 1.7,б). В случае, когда сечение КФ имеет вид рис. 1.7,в, сечения КФ уже довольно округлы, поэтому и на И (рис. 1.8,в) анизотропия выражена слабее. С уменьшением коэффициента сечения КФ становятся более вытянутыми из левого верхнего в правый нижний угол, поэтому на реализациях проявляются области, протяженные в этом направлении. Для рис. 1.8,г характерна значительная коррелированность по направлению из левого нижнего в правый верхний угол, что объясняется видом сечений КФ на рис. 1.7,г.

Четырехточечная модель

Рассмотрим теперь четырехточечную авторегрессионую модель

(1.33)

с шаблоном, представленным на рис. 1.9,а.

Рис. 1.9.

Аналогично предыдущему примеру, КФ порождаемого поля определяется выражением

При этот интеграл с помощью несложных преобразований дает следующий результат:

, (1.34)

где

; и – корни уравнения

(1.35)

или величины, обратные этим корням, так, чтобы выполнялись неравенства и . Коэффициенты уравнения (1.35) определяются по формулам , , , , , , , , , . Выбирая коэффициенты так, чтобы , получаем поле с заданной дисперсией .

Таким образом, КФ вдоль горизонтальной координатной оси равна сумме двух экспонент. Анализируя направления, по которым оказывают влияние возмущения (рис. 1.9,б), можно сделать вывод, что КФ удовлетворяет уравнению

(1.36)

при положительных и любых , а также для при . Решая это уравнение с граничными условиями (1.34), можно получить явное выражение для КФ:

, , , (1.37)

где , . Найденный результат справедлив в области , ограниченной прямыми и (рис. 1.9,в). Остальные значения КФ можно получить рекуррентно с помощью соотношений (1.36) и (1.37).

В качестве примера на рис. 1.10 приведены сечения КФ, соответствующей значениям ; ; ; ; .

Рис. 1.10.

Варьируя параметры модели (1.33), можно получать случайные поля с весьма широким классом КФ.

Как уже отмечалось, задача синтеза модели, порождающей случайное поле с заданной КФ, значительно сложнее задачи анализа модели. В рамках линейной авторегрессии задача синтеза сводится к определению подходящих коэффициентов уравнения (1.10). Например, выбирая пять коэффициентов уравнения (1.33), получим модель, порождающую поле с пятью заданными значениями КФ. Увеличивая размеры области локальных состояний, можно получить поля с более точным соответствием реальных изображений и рассмотренных моделей.