1.5. Тензорные модели случайных полей

Рассмотрим случайное поле , заданное на (n+1)-мерной сетке , где – n-мерная -сетка; . Индекс может интерпретироваться как время, поэтому сечение поля X будем называть -м кадром. Покажем, что если поле X рассматривается как последовательность кадров x1, x2,…, каждый из которых задан на n-мерной сетке W, то можно обобщить методы описания случайных последовательностей на случайные поля.

Пусть последовательность кадров описывается стохастическим разностным уравнением

, i = 1,2,…, (1.38)

где – порождающее стандартное гауссовское поле; – i-й кадр этого поля; – -матричная функция; – тензоры ранга 2n с двумя групповыми индексами, формирующие возмущающую компоненту i-го кадра из по правилу умножения тензоров, изложенному в первой части Приложения. Транспонирование этого кадра заключается в перестановке его групповых индексов: . Отметим, что верхний индекс i означает номер кадра, т. е. в нашей интерпретации – время, поэтому i не считается немым индексом и суммирование по нему не производится.

Модель (1.38) позволяет описывать весьма широкий класс марковских последовательностей случайных кадров. В частности, линейная модель

, (1.39)

где тензоры и не зависят от , описывает гауссовскую последовательность.

Для этого поля КФ есть ковариационная пространственная матрица, определяемая естественным образом:

, , (1.40)

где , а символ «» обозначает внешнее произведение матриц. Таким образом, и являются симметричными -матрицами. Для полного определения случайного поля с помощью уравнения состояния (1.38) необходимо задать закон распределения начального кадра x0. Часто это распределение является гауссовским со средним и ковариационной матрицей . Совместную ПРВ первых кадров представим следующим образом:

. (1.41)

Из (1.38) следует, что в гауссовском случае

, (1.42)

где ; ; .

Подставляя (1.42) в (1.41), получим следующее выражение для совместной ПРВ:

, (1.43)

где j1(x0) = m0. Из совместных ПРВ (1.43), вообще говоря, можно найти среднее значение mi и КФ , но выполнить практически необходимые для этого вычисления сложно. Удобнее воспользоваться известными приближенными рекуррентными соотношениями для векторных марковских последовательностей, обобщив их на рассматриваемые тензорные модели.

Для этого используем разложение функции в тензорный ряд Тейлора (см. Приложение), предполагая достаточную гладкость и ограничиваясь линейными членами:

. (1.44)

Подставляя (1.44) в (1.38) и усредняя, находим приближенное рекуррентное соотношение

(1.45)

для средних значений. Подставляя (1.44) и (1.45) в (1.40) и учитывая независимость xi и xi, получаем

. (1.46)

Разложим в тензорный ряд Тейлора с точностью до линейных членов:

Подставляя это разложение в (1.46), получим приближенное рекуррентное соотношение для КФ:

. (1.47)

В случае линейной модели (1.39) рекуррентные соотношения (1.45) и (1.47) будут точными:

mi = 0, . (1.48)

Особый интерес представляет модель (1.39) с постоянными тензорами и , для которой

, (1.49)

где (k) означает возведение в k–ю степень. Если корни характеристического уравнения по модулю меньше единицы, то P(k) ® 0 при k ® ¥, и из (1.49) находим, что при k ® ¥.

Записывая (1.39) в виде и производя выкладки, аналогичные (1.20)–(1.27), получаем тензорный спектр стационарного поля

и выражение для КФ

. (1.50)

Из (1.50) достаточно найти , остальные значения получаются из уравнения (1.49), которое в стационарном случае принимает форму . Для нахождения Vx можно вместо интегральной формулы (1.50) использовать предел (1.48) при i ® ¥.

. (1.51)

Уравнение (1.51) представляет собой неособенную систему линейных уравнений относительно компонент тензора Vx.

Аналогичным образом могут быть обобщены авторегрессионые скалярные и векторные модели, порождающие марковские последовательности более высоких порядков. Это дает возможность описания последовательностей многомерных кадров, в которых каждый кадр зависит от m непосредственно предшествующих ему кадров.