Читать в оригинале

<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>


1.5. Тензорные модели случайных полей

Рассмотрим случайное поле , заданное на (n+1)-мерной сетке  , где   – n-мерная -сетка; . Индекс  может интерпретироваться как время, поэтому сечение  поля X будем называть -м кадром. Покажем, что если поле X рассматривается как последовательность кадров x1, x2,…, каждый из которых задан на n-мерной сетке W, то можно обобщить методы описания случайных последовательностей на случайные поля.

Пусть последовательность кадров описывается стохастическим разностным уравнением

  , i = 1,2,…,                             (1.38)

где  – порождающее стандартное гауссовское поле;  – i-й кадр этого поля;  – -матричная функция;  – тензоры ранга 2n с двумя групповыми индексами, формирующие возмущающую компоненту i-го кадра из  по правилу умножения тензоров, изложенному в первой части Приложения. Транспонирование этого кадра заключается в перестановке его групповых индексов: . Отметим, что верхний индекс i означает номер кадра, т. е. в нашей интерпретации – время, поэтому i не считается немым индексом и суммирование по нему не производится.

Модель (1.38) позволяет описывать весьма широкий класс марковских последовательностей случайных кадров. В частности, линейная модель

,                                       (1.39)

где тензоры  и  не зависят от , описывает гауссовскую последовательность.

Для этого поля КФ есть ковариационная пространственная матрица, определяемая естественным образом:

  , ,                   (1.40)

где , а символ «» обозначает внешнее произведение матриц. Таким образом,  и  являются симметричными -матрицами. Для полного определения случайного поля с помощью уравнения состояния  (1.38) необходимо задать закон распределения начального кадра x0. Часто это распределение является гауссовским со средним  и ковариационной матрицей . Совместную ПРВ первых кадров представим следующим образом:

.              (1.41)

Из (1.38) следует, что в гауссовском случае

, (1.42)

где ; ; .

Подставляя (1.42) в (1.41), получим следующее выражение для совместной ПРВ:

,          (1.43)

где j1(x0) = m0. Из совместных ПРВ (1.43), вообще говоря, можно найти среднее значение mi и КФ , но выполнить практически необходимые для этого вычисления сложно. Удобнее воспользоваться известными приближенными рекуррентными соотношениями для векторных марковских последовательностей, обобщив их на рассматриваемые тензорные модели.

Для этого используем разложение функции  в тензорный ряд Тейлора (см. Приложение), предполагая достаточную гладкость и ограничиваясь линейными членами:

  .                                      (1.44)

Подставляя (1.44) в (1.38) и усредняя, находим приближенное рекуррентное соотношение

                                            (1.45)

для средних значений. Подставляя (1.44) и (1.45) в (1.40) и учитывая независимость  xi  и  xi, получаем

  .              (1.46)

Разложим   в тензорный ряд Тейлора с точностью до линейных членов:

 .

Подставляя это разложение в (1.46), получим приближенное рекуррентное соотношение для КФ:

.         (1.47)

В случае линейной модели (1.39) рекуррентные соотношения (1.45) и (1.47) будут точными:

 mi = 0,         .              (1.48)

Особый интерес представляет модель (1.39) с постоянными тензорами  и , для которой

  ,                                      (1.49)

где (k) означает возведение в k–ю степень. Если корни характеристического уравнения  по модулю меньше единицы, то P(k) ® 0 при k ® ¥, и из (1.49) находим, что  при k ® ¥.

Записывая (1.39) в виде  и производя выкладки, аналогичные (1.20)–(1.27), получаем тензорный спектр стационарного поля

 

и выражение для КФ

 

.                  (1.50)

Из (1.50) достаточно найти , остальные значения получаются из уравнения (1.49), которое в стационарном случае принимает форму .  Для нахождения Vx можно вместо интегральной формулы (1.50) использовать предел (1.48) при i ® ¥.

  .                                  (1.51)

Уравнение (1.51) представляет собой неособенную систему линейных уравнений относительно компонент тензора Vx.

 

Аналогичным образом могут быть обобщены авторегрессионые скалярные и векторные модели, порождающие марковские последовательности более высоких порядков. Это дает возможность описания последовательностей многомерных кадров, в которых каждый кадр зависит от m непосредственно предшествующих ему кадров.

 



<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>