6.5. ХАРАКТЕРИСТИКИ КАЧЕСТВА МП ОЦЕНИВАТЕЛЕЙ

Качество оценки параметра сигнала обычно измеряется её смещением и дисперсией. Чтобы определить эти характеристики, предположим, что мы имеем последовательность наблюдений  с ФПВ , из которых извлекаем оценку параметра . Смещение оценки  определяется так:

                                            (6.5.1)

где  - истинное значение параметра. Если , мы говорим, что оценка несмещённая. Дисперсия оценки  определяется так:

                               (6.5.2)

В общем  трудно вычислить. Однако хорошо известным результатом в теории оценивания параметра (см. Хелстром, 1968) является нижняя граница Крамера-Рао для среднеквадратической ошибки:

    (6.5.3)

Заметим, что если оценка несмещённая, то числитель в (6.5.3) равен единице, и граница (6.5.3) приводит к нижней границе для дисперсии  оценки , т.е.

                                    (6.5.4)

Поскольку  отличается от логарифма отношения правдоподобия постоянным множителем, не зависящим от , то получим

    (6.5.5)

Следовательно, нижняя граница для дисперсии равна

    (6.5.6)

Эта нижняя граница – очень полезный результат. Она даёт оценку близости при сравнении дисперсии практической оценки относительно нижней границы. Несмещённая оценка, дисперсия которой достигает нижней границы, называется эффективной.

В общем эффективные оценки являются редкими. Если они существуют, то являются оценками максимального правдоподобия. Хорошо известный результат из теории оценивания параметра – это то, что МП оценка параметра асимптотически (при произвольно большом числе наблюдений) не смещена и эффективна. В значительной степени эти желательные свойства определяют важность МП оценки параметра. Также известно, что МП оценка имеет асимптотически гауссовское распределение [со средним  и дисперсией, равной нижней границе, определяемой (6,5.6)].

В случае МП оценок, описанных в этой главе для двух сигнальных параметров, дисперсии в общем обратно пропорциональны отношению сигнал-шум или, что эквивалентно, обратно пропорциональны мощности сигнала, умноженной на интервал наблюдения . Далее, дисперсии оценок, управляемых решениями, при малых вероятностях ошибки в целом ниже, чем дисперсии оценок, не управляемых решениями.

Фактически качество МП оценок, управляемых решениями, для  и  достигает нижней границы.

Следующие примеры относятся к расчёту нижней границы Крамера-Рао для МП оценки фазы несущей.

Пример 6.5.1. МП оценка фазы немодулированной несущей, как было показано в (6.2.11), удовлетворяет условию

                            (6.5.7)

где

   (6.5.8)

Условие (6.5.7) получено при взятии производной логарифма функции правдоподобия

                                  (6.5.9)

Дисперсия  имеет нижнюю границу

    (6.5.10)

Множитель  - это эквивалентная (односторонняя) шумовая полоса идеального интегратора.

Из этого примера мы видим, что дисперсия МП оценки фазы имеет нижнюю границу

                                                                    (6.5.11)

где  - петлевое ОСШ. Это также дисперсия, получаемая при оценке фазы несущей посредством ФЗП с оценкой, управляемой решениями. Как мы уже видели, оценки, не управляемые решениями, нельзя выполнить так хорошо из-за потерь в нелинейностях, требуемых для снятия модуляции, например потерь из-за квадратирования или возведения в -ю степень.

Похожие результаты можно получить для качества оценок параметра задержки, рассмотренных выше. В дополнение к их зависимости от ОСШ качество оценки параметра задержки является функцией от огибающей сигнального импульса. Например, на практике обычно используется импульс, имеющий спектр в виде приподнятого косинуса (см. разд. 9.2).

Для такого импульса среднеквадратическая ошибка  оценивания параметра задержки как функция от ОСШ показана на рис. 6.5.1 для оценок, управляемых и не управляемых решениями.

Отметим значительное улучшение качества оценки, управляемой решениями, по сравнению с оценкой, не управляемой решениями. Теперь, если меняется полоса частот импульса , меняется огибающая импульса и, следовательно, среднеквадратическая ошибка оценки параметра задержки также меняется. Например, если меняется полоса частот импульса, который имеет спектр в форме приподнятого косинуса, среднеквадратическая ошибка меняется так, как показано на рис. 6.5.2. Заметим, что ошибка уменьшается по мере увеличения полосы частот импульса.

В заключение мы представили метод МП оценки сигнальных параметров и применили его для оценки фазы несущей и параметра задержки символов. Мы также описали их характеристики качества.

Рис.6.5.1. Качество оценки параметра задержки для фиксированного сигнала и фиксированной петлевой полосы.

Рис.6.5.2. Качество оценки параметра задержки для фиксированного ОСШ и фиксированной петлевой полосы