8.3. КОДИРОВАННАЯ МОДУЛЯЦИЯ ДЛЯ ЧАСТОТНО-ОГРАНИЧЕННЫХ КАНАЛОВ

При трактовке блоковых и свёрточных кодов в разделе 8.1 и 8.2, соответственно, было отмечено улучшение качества за счёт расширения полосы частот передаваемого сигнала на величину, обратно пропорциональную скорости кода. Напомним, для примера, что улучшение качества, достигаемое двоичным блоковым кодом с декодированием мягких решений, примерно равно по сравнению с некодированной двоичной или четверичной ФМ. Для примера, если , расширенный код Голея (24,12) дает выигрыш от кодирования 5 дБ. Этот выигрыш от кодирования достигается ценой удвоения полосы передаваемого сигнала и, конечно, дополнительной оптимальностью, связанной с усложнением реализации приемника. Таким образом, кодирование является эффективным методом для размена полосы и сложность реализации на мощность передатчика. Эта ситуация применима к цифровым системам связи, которые рассчитаны для работы в области ограниченной мощности мощность, когда .

В этом разделе мы рассмотрим использование кодированных сигналов для каналов с ограничением полосы. Для таких каналов, цифровые системы связи синтезируются так, чтобы использовать эффективные по полосе системы многоуровневой фазовой модуляции, такие как АИМ, ФМ, ДФМ, КАМ и работать в области, где . Если кодирование применяется к ограниченным по полосе каналам, то желателен выигрыш качества без расширения полосы сигналов. Эту цель можно достичь увеличением числа сигналов по сравнению с соответствующими системами без кодирования, чтобы компенсировать избыточность, вносимую кодом.

Для примера, предположим, что система без кодирования, которая использует четырехфазовую ФМ, достигает (бит/с Гц) при вероятности ошибки . Для этой вероятности ошибки ОСШ на бит дБ. Мы можем попытаться уменьшить ОСШ на бит путём использования кодированных сигналов, но это надо сделать без расширения полосы. Если мы выберем скорость кода это должно сопровождаться увеличением числа сигнальных точек от четырех (два бита на символ) до восьми (три бита на символ). Таким образом, код со скоростью 2/3, используемый совместно с восьми фазовой ФМ, проносит например, такое же количество данных (в единицу времени) через канал как некодированная четырехфазовая ФМ. Однако, мы напомним, что увеличение числа фаз сигнала от четырех до восьми требует дополнительно примерно 4 дБ мощности сигнала для поддержания той же вероятности ошибок. Следовательно, если кодирование приносит выгоду, выигрыш качества кода со скоростью 2/3 должен преодолеть этот 4 децибеловый штраф.

Если модуляция трактуется, как отдельная операция, независимая от кодирования, то требуется использование очень мощных кодов (большие кодовые ограничения свёрточных кодов или большая длина блокового кода) для возмещения потерь и обеспечение некоторого достаточного выигрыша от кодирования. С другой стороны, если модуляция является частью единого процесса кодирования и она рассчитывается совместно с кодом, для увеличения минимального евклидового расстояния между парами кодированных сигналов, потери от расширения ансамбля сигналов легко преодолеть и достигается достаточный выигрыш кодирования при относительно простых кодах. Ключ для подхода к этой совместной модуляции и кодирования заключается в изобретении эффективного метода, отображения кодовых битов (символов) в сигнальные точки так, чтобы максимизировать минимальное евклидово расстояние (между парами символов!). Такой метод был разработан Унгербоеком (1982) и основан на принципе отображения рядом сочленений.

Мы опишем эти принципы посредством двух примеров.

Пример 8.3.1: сигнальное созвездие для восьмеричной ФМ. Расчленим восьми-фазовое сигнальное созвездие, показанное на рис. 8.3.1, на подобразы с возрастающими минимальными евклидовыми расстояниями. В восьмифазовом сигнальном ансамбле сигнальные точки располагаются на окружности радиуса и имеет минимальное взаимное расстояние

Рис. 8.3.1. Ряд расчленений для восьмеричного ансамбля сигналов ФМ

При первом расчленении восемь точек подразделяются на два подобраза из четырех точек в каждом так, что минимальное расстояние между точками увеличивается до . На втором уровне расчленения каждый из двух подобразов разделяются на два подобраза из двух точек так, что минимальное расстояние увеличивается до . В результате получилось четыре подобраза с двумя точками в каждом. Наконец, последняя ступень расчленения ведет к восьми подобразам, где каждый подобраз состоит из единственной точки. Заметим, что каждый уровень расчленения увеличивает минимальное евклидовое расстояние между сигнальными точками. Результат этих трех ступеней расчленения иллюстрирует рис. 8.3.1. Путь, по которому кодовые символы отображаются в расчлененные сигнальные точки, описан ниже.

Пример 8.3.2. Сигнальные созвездия для 16-КАМ. Шестнадцатиточечное прямоугольное сигнальное созвездие показанное на рис. 8.3.2, сначала делится на два подобраза путем назначения альтернативных точек в каждом подобразе, как показано на рисунке. Таким образом, минимальное расстояние между точками увеличивается при первом расчленении с до . Дальнейшее расчленение двух подобразов ведет к большому увеличению евклидового расстояния между сигнальными точками, как показано на рис. 8.3.2. Интересно заметить, что для прямоугольного сигнального созвездия, каждый уровень расчленения увеличивает минимальное евклидово расстояние на , то есть для всех .

Рис. 8.3.2. Ряд расчленений дляансамбля сигналов КАМ-16

В этих двух примерах расчленения ведется до тех пор, пока каждый подобраз содержит только единственную точку. В общем, это не необходимо. Например, сигнальное созвездие 16 точечной КАМ можно расчленить только дважды, чтобы получить четыре подобраза с четырьмя точками в каждом. Аналогично сигнальное созвездие восьми фазовой ФМ можно расчленить дважды, чтобы получить четыре подобраза с двумя точками в каждом.

Степень, до какой сигнал расчленяется, зависит от характеристик кода. В общем, процесс кодирования выполняется так, как показано на рис. 8.3.3.

Рнс. 8.3.3. Общая структура комбинированного кодера/модулятора

Блок из информационных символов делится на две группы длиной и . символов кодируются в символов, в то время как символа остаются не кодированными. Затем символа кодера используются для выбора одного из возможных подобразов в расчлененном ансамбле сигналов, в то время как символа используются для выбора одной из сигнальных точек в каждом подобразе. Если , все информационных символа кодируются.

Пример 8.3.3. Рассмотрим использование свёрточного кода со скоростью 1 /2, показанного на рис. 8.3.4 (а) для кодирования некоторого информационного символа, в то время как второй информационный символ остается не кодированным.

Рис. 8.3.4. Решётка с 4 состояниями для кодированной модуляции восьмеричной ФМ

Используем их в объединении с восьми точечным сигнальным созвездием, например, восьми фазовой ФМ или восьми точечной КАМ. Два кодированных символа используются для выбора одного из четырех подобразов сигнального созвездия, в то время как оставшийся информационный символ используются для выбора одной из двух точек внутри каждого подобраза. В этом случае и . Решётка с четырьмя состояниями показанная на рис. 8.3.4(), является в основе своей решёткой для свёрточного кода со скоростью 1/2 с добавлением параллельных путей в каждой позиции для размещения некодированных символов . Таким образом, кодированные символы используются для выбора одного из четырех подобразов, каждый из которых содержит две сигнальные точки, а не кодированные символы используются для выбора одной из двух сигнальных точек внутри каждого подобраза. Заметим, что сигнальные точки внутри подобраза удаленны на расстояние . Таким образом, расстояние Евклида между параллельными путями равно . Отображение кодовых символов сигнальными точками иллюстрируется на рис. 8.3.4(с). В качестве альтернативной схемы кодирования мы можем использовать свёрточный кодер со скоростью 2/3 и кодировать 2 информационных символа так, как показано на рис. 8.3.5. Это кодирование ведет к решётке с восьмью состояниями и обеспечивает лучшее качество, но требует более сложную реализацию декодера, как описано ниже.

Рис. 8.3.5. Свёрточный кодер со скоростью 2/3 для кодирования обоих информационных символов

Как блоковый, так и свёрточный коды можно использовать в объединении с расчлененным сигнальным созвездием. В общем, свёрточные коды обеспечивают сравнимый выигрыш кодирования относительно блоковых кодов, а имеющийся в распоряжении алгоритм Витерби приводит к несложной реализации декодирования мягких решений. Из этих соображений мы ограничим наше обсуждение свёрточными кодами (линейными решетчатыми кодами), а в более общем случае (нелинейными) решетчатыми кодами.

Решётчатая кодированная модуляция. Рассмотрим использование сигнального созвездия 8-ми уровневой ФМ в объединении с решётчатым кодом. В качестве образца при измерении выигрыша кодирования используем не кодированную четырехфазовую ФМ (4 ФМ). Не кодированная 4 ФМ использует сигнальные точки либо подобраза либо на рис 8.3.1, из которого видно, что минимальное расстояние сигнальных точек равно . Заметим, что этот сигнал соответствует тривиальной решётке с одним состоянием и четырьмя параллельными переходами состояний, как показано на рис. 8.3.6(а).

Подобразы использованы как сигнальные точки с целью иллюстрации. Для кодированной 8 ФМ модуляции мы можем использовать решётку с четырьмя состояниями, как показано на рис. 8.3.6(б). Заметим, что каждая ветвь решётки соответствует одному из четырех подобразов . Для восьми точечного созвездия каждый из подобразов содержит две сигнальные точки. Следовательно, пподобраз содержит две сигнальные точки, соответствующие битам (000, 100) или (0, 4) в восьмеричной записи. Аналогично, содержит две сигнальные точки, соответствующие битам (010, 110) или (2, 6) в восьмеричной записи. содержит две сигнальные точки, соответствующие битам (001, 101) или (1, 5) в восьмеричной записи и содержит две сигнальные точки, соответствующие битам (011, 111) или (3, 7) в восьмеричной записи. Таким образом, каждый переход в решётке из четырех состояний содержит два параллельных пути, как показано более подробно на рис. 8.3.6 (с). Заметим, что любые два сигнальных пути, которые расходятся из одного состояния и сливаются в то же состояние после более одного перехода имеем квадрат расстояний Евклида между ними.

Рис. 8.3.6. Решетка для некодированной 4ФМ и решётчатый код для сигналов 8ФМ

Для примера, сигнальные пути 0, 0, 0 и 2, 1, 2 разделены на . С другой стороны, квадрат расстояния Евклида между параллельными переходами равно . Следовательно, минимальное расстояние Евклида между путями, которые расходятся из какого либо состояния и сходятся в то же состояние, равно для решётки с четырьмя состояниями . Это минимальное расстояние в решетчатом коде названо свободным евклидовым расстоянием и обозначается .

В решётке из четырех состояний на рис. 8.3.6(б) . Если сравнить с расстоянием Евклида для не кодированной 4 ФМ модуляции, мы видим, что решётчатый код с четырьмя состояниями дает выигрыш кодирования 3 дБ. Мы хотим подчеркнуть, что решётчатый код с четырьмя состояниями, иллюстрированный на рис 8.3.6(б), оптимален в том смысле, что он обеспечивает наибольшое свободное Евклидово расстояние. Ясно, можно конструировать много других решётчатых кодов с четырьмя состояниями, включая и тот, который показан на рис. 8.3.7, которые четыре отсчётных перехода из одного состояния до всех остальных состояний. Однако, ни этот код, ни любой из других возможных решётчатых кодов с четырьмя состояниями не даст большее значение .

Для решётки с четырьмя состояниями рис. 8.3.6(б) . Если сравнить с расстоянием Евклида для некодированной ЧФМ модуляции, мы видим, что решётчатый код с четырьмя состояниями даёт выигрыш кодирования 3 дБ.

Рис. 8.3.7. Альтернативный решётчатый код с 4 состояниями

Конструирование оптимального решётчатого кода с четырьмя состояниями для восьми, точечного созвездия было выполнено на основе следующих эвристических правил:

a) параллельные переходы (когда они возникают) назначаются сигнальным точкам, разделенным максимальным расстоянием Евклида, например для 8 ФМ в четырех подобразах .

b) переход, начинающийся и сходящийся в некоторое состояние назначается подобразом или , которые имеют максимальное расстояние .

с) сигнальные точки возникают с одинаковой частотой.

Заметим, что правила и гарантируют, что Евклидово расстояние связанное с одним и многими путями, которые выходят из определенного состояния и сходятся в это состояние, превосходят Евклидово расстояние для не кодированной 4 ФМ. Правило (с) гарантирует, что решётчатый код будет иметь регулярную структуру.

Хотим указать на то, что специальное отображение кодовых символов в сигнальные точки, как иллюстрировано на рис. 8.3.1, где восемь сигнальных точек представлено в эквивалентную двоичную форму, существенно. Можно разработать иные отображения путём перестановки подобразов таким путём, чтобы сохранить основное свойство - увеличение минимального расстояния среди подобразов,

В решётчатом коде с четырьмя состояниями параллельные переходы разделяются евклидовым расстоянием , что тоже равно . Таким образом, выигрыш кодирования в 3 дБ ограничивается расстоянием параллельных переходов. Больший выигрыш в качестве относительно не кодированной 4 ФМ можно достичь путём использования решётчатых кодов с большим числом состояний, что позволяет исключить параллельные переходы. Решётчатые коды с восемью или большим числом состояний следует использовать различимые переходы для получения больших значений . Например, на рис. 8.3.8 мы иллюстрируем решётчатый код с восемью состояниями, разработанный Унгербоеком (1982 год) для 8 ФМ сигнального созвездия.

Для максимизации свободного Евклидова расстояния переходы состояний были определены с учетом трех базовых правил, данных выше. В этом случае можно заметить, что минимум квадрата Евклидова расстояния равно

что, по сравнению с расстоянием для некодированной 4 ФМ представляет выигрыш 3,6 дБ. Унгербоек (1982 ... 1987) также нашел решётчатые коды со скоростью 2/3 и с 16, 32, 64, 128 и 256 состояниями, которые достигают выигрыш кодирования от 4 до 5,75 дБ для 8 ФМ модуляции.

Рис. 8.3.8. Решетчатый код с 8 состояниями для кодированной модуляции 8ФМ

Базовый принцип расчленения ансамбля легко расширить на большие сигнальные созвездия с ФМ, которые дают большую частотную эффективность. Например, 3 (бит/сГц) можно достичь или не кодированным 8 ФМ или кодированной модуляцией 16 ФМ с решётчатым кодом. Унгербоек (1987) предложил решетчатые коды и рассчитал выигрыш кодирования, достигнутый посредством простых свёрточных кодов со скоростью 1/2 и 2/3 для 16 ФМ сигнального созвездия. Эти результаты суммированы ниже.

Декодирование Витерби мягких решений для решётчато-кодированной модуляции выполняется двумя ступенями. Поскольку каждая ветвь решётки соответствует сигнальному подобразу, то – первая ступень декодирования сводится к определению наилучшей точки сигнала внутри каждого подобраза, то есть точку в каждом подобразе, которая ближе по расстоянию в принятой точке. Мы можем это назвать декодированием подобразов. На второй ступени сигнальные точки, выбранные в каждом подобразе и их метрики квадратов расстояний используются для соответствующей ветви в алгоритме Витерби для определения пути сигнала в кодовой решётке, который имеет минимальную сумму квадратов расстояний от принимаемых сигнальных последовательностей (зашумленный выход канала).

Вероятность ошибки решётчато-кодированных сигналов в присутствии аддитивного гауссовского шума можно рассчитать, следуя процедуре, описанной в разделе 8.2 для свёрточных кодов. Напомним, что эта процедура включает расчет вероятности ошибки для всех различных событий, приводящих к ошибке и к суммированию вероятностей этих событий для получения объединенной верхней границы для вероятности ошибки декодирования при первом пересечении. Заметим, однако, что при больших ОСШ, вероятность ошибки при первом пересечении в основном определяется лидирующим слагаемым, который имеет минимальное расстояние . Следовательно, при больших ОСШ вероятность ошибки при первом пересечении хорошо аппроксимируется так:

, (8.3.1)

где означает число сигнальных последовательностей с расстоянием , которые выходят из определённого состояния и возвращаются в то же состояние после одного или больше переходов.

При вычислении выигрыша кодирования, достигаемого посредством решётчето-кодированной модуляции мы обычно сосредотачиваемся на выигрыше, достигаемом путём увеличения и пренебрегаем влиянием . Однако, решеточные коды с большим числом состояний могут привести к большим значениям , что нельзя игнорировать при оценивании всего выигрыша кодирования.

В дополнении к решётчето-кодированной ФМ модуляции, описанной выше, мощные решёточатые коды были также разработаны для сигнальных созвездий AM и КАМ. Особенно важен для практики класс решётчато-кодированных двухмерных прямоугольных сигнальных созвездий. Рис. 8.3.9 иллюстрирует эти сигнальные созвездия для M-КАМ, где .

Рис. 8.3.9. Прямоугольное двухмерное (КАМ) сигнальное созвездие

Созвездия с имеют крестообразные формы и их иногда называют крест созвездиями. Ниже расположенные прямоугольные сетки, содержащие сигнальные точки -КАМ, названы решётками типа (индекс указывает на размерность пространства). Если расчленение ансамбля применить к этому классу созвездий, минимальное евклидово расстояние между последовательными расчленениями равно для всех , как мы видели прежде в примере 8.3.2.

Рис. 8.3.10 иллюстрирует решётчатый код с восьмью состояниями, который можно использовать в прямоугольном сигнальном созвездии -КАМ, , где и так далее.

Рис. 8.3.10. Решвтка с 8 состояниями для прямоугольных сигнальных созвездий с КАМ

С решёткой из восьми состояний мы связываем восемь сигнальных подобразов так, что подходит любой из -КАМ сигнальных ансамблей при . Для два входных символа кодируются в символа, которые используются для выбора одного из восьми состояний, соответствующих восьми подобразам. Дополнительные входных символа используются для выбора сигнальных точек внутри подобраза и они приводят к параллельным переходам в решетке из восьми состояний. Таким образом, 16КАМ включает два параллельных перехода в каждой ветви решётки. В более общем виде, выбор -точечного сигнального созвездия КАМ подразумевает, что решётки с восьмью состояниями содержат параллельных переходов в каждой ветви.

Задание сигнальных подобразов для переходов основывается на том же наборе базовых (эвристических) правил, описанных выше 8 ФМ сигнального созвездия. Так четыре (ветвевых) переходов, начинающихся от или входящих в то же состояние, задаются подобразами . Параллельные переходы задают сигнальные точки, содержащиеся внутри соответствующих подобразов. Этот решётчатый код с восьмью состояниями обеспечивает выигрыш от кодирования 4 дБ. Евклидово расстояние параллельных переходов превышает свободное евклидово расстояние и, следовательно, качество кода не ограниченно параллельными переходами.

Решётчатые коды с большими размерами для -КАМ обеспечивают даже большие выигрыши от кодирования. Для примера, решётчатые коды с состояниями для сигнального созвездия КАМ можно сконструировать путём свёрточного кодирования входных символов в выходных символов. Так, для этой цели используется свёрточный код со скоростью . Обычно выбор обеспечивает достаточную долю общего достигаемого выигрыша от кодирования. Дополнительные входных символов не кодируются, и они передаются в каждом сигнальном интервале, путём выбора символьных точек внутри подобраза.

Таблицы 8.3.1...8.3.3, взятые из статей Унгербоека (1987) дают суммарный выигрыш от кодирования, достигаемый при помощи решётчато — кодированной модуляции. Табл. 8.3.1 суммирует выигрыши от кодирования, достигаемые при решётчато-кодированной (одномерной) модуляцией с AM со скоростями решётчатых кодов 1/2. Заметим, что выигрыш от кодирования посредством решётчатого кода с 128 состояниями, равен 5,8 дБ для восьми уровневой AM, что близко к предельной скорости канала и теряет 4 дБ относительно предела пропускной способности канала для частости ошибки в области . Мы можем также видеть, что число путей с евклидовым расстоянием становится больше с увеличением числа состояний.

Табл. 8.3.2 показывает выигрыш кодирования для решётчато-кодированной 16 ФМ. Снова видим, что выигрыш кодирования для восьми и более ступеней решётки превышает 4 дБ относительно некодированной 8 ФМ. Простой код со скоростью 1/2 и 128 ступенями решётки дает выигрыш дБ.

Табл. 8.3.3 содержит выигрыш кодирования, получаемый решётчато - кодированными сигналами КАМ. Относительно простой решётчатый код со скоростью 2/3 и 128 ступенями решётки дает выигрыш около 6 дБ при .

Таблица 8.3.1. Выигрыши кодирования для решётчато-кодированных AM сигналов

Число состояний		Скорость кода	Выигрыш кода (дБ) 4АМ относительно некодированной 2АМ	Выигрыш кода (дБ) 8АМ относительно некодированной 4АМ	Асимптотический выигрыш кода (дБ)
4	1	1/2	2,55	3,31	3,52	4
8	1	1/2	3,01	3,77	3,97	4
16	1	1/2	3,42	4,18	4,39	8
32	1	1/2	4,15	4,91	5,11	12
64	1	1/2	4,47	5,23	5,44	36
128	1	1/2	5,05	5,81	6,02	66

Источник: Ungerboek (1987)

Таблица 8.3.2. Выигрыши кодирования для решётчато-кодированных 16-ФМ сигналов

Число состояний		Скорость кода	Выигрыш кода (дБ) 16ФМ относительно некодированной 8ФМ
4	1	1/2	2,55	4
8	1	1/2	3,01	4
16	1	1/2	3,42	8
32	1	1/2	4,15	12
64	1	1/2	4,47	36
128	1	1/2	5,05	66

Источник: Ungerboek (1987)

Таблица 8.3.3. Выигрыши кодирования для решётчато-кодированных КАМ сигналов

Число

состоя-

ний

Скорость

кода

Выигрыш кода

(дБ) 16КАМ

относительно

некодирован-ной 8КАМ

Выигрыш кода

(дБ) 32КАМ

относительно

некодирован-

ной 16КФМ

Выигрыш кода

(дБ) 64КАМ

относительно

некодирован-

ной 32КАМ

Асимптотичес-кий выигрыш кода

(дБ)

128

256

1/2

2/3

3,01

3,98

4,77

5,44

6,02

6 02

3,01

3,98

4,77

5,44

6,02

6 02

2,80

3,77

4,56

4,23

5 81

3,01

3,98

4,77

5,44

6,02

6 02

344

Источник: Ungerboek (1987)

Результаты в этих таблицах ясно иллюстрируют существенные выигрыши кодирования, достигаемые относительно простыми решётчатыми кодами. Выигрыш от кодирования в 6 дБ близок к результату для предельной скорости для рассматриваемого сигнального ансамбля. Дополнительный выигрыш, который может вести к передаче вблизи границы пропускающей способности канала трудно получить без достаточного увеличения сложности техники кодирования/декодирования.

Поскольку пропускная способность канала определяет окончательный предел качества кодирования, мы можем подчеркнуть, что непрерывное расчленение больших ансамблей сигналов быстро ведет к разделению сигнальных точек внутри некоторого подобраза, что расширяет свободное евклидово расстояние кода. В таких случаях параллельные переходы больше не являются ограничивающим фактором для . Обычно расчленение на восемь подобразов достаточно для получения выигрыша кодирования 5-6 дБ при помощи решётчатых кодов со скоростью 1/2 или со скоростью 2/3 с 64 или 128 ступенями решётки, как указанно в табл. 8.3.1...8.3.3. Свёрточные кодеры для линейных решётчатых кодов, иллюстрируемые в табл. 8.3.1...8.3.3 для сигнальных созвездий -АМ, -ФМ и -КАМ даны в статьях Унгербоека (1982...987). Кодеры могут быть реализованы с обратной связью или без неё. Например, рис. 8.3.11 иллюстрирует три свёрточных кодера без обратной связи, соответствующие решетчатым кодам с 4, 8, 16 состояниями для сигнальных созвездий 8 ФМ и 16 КАМ.

Эквивалентная реализация этих решётчатых кодов, основанная на систематических свёрточных кодерах с обратной связью, дана на рис. 8.3.12. Обычно систематические сверточные кодеры предпочтительны в практических разработках.

Важнейшая проблема для линейных свёрточных кодов заключается в том, что ансамбль модулированных сигналов обычно не инвариантен к изменению фазы. Это ставит проблему в практических разработках, где обычно применяется дифференциальное кодирование, так чтобы преодолеть фазовые флуктуации в случаях, когда приемник должен восстановить фазу несущей после временных ослаблений сигналов. Проблема постоянства фазы и дифференциального кодирования/декодирования была решена Вайем (1984 ), который изобрел линейные и нелинейные решётчатые коды, которые инварианты к вращению фазы соответственно на или . Для примера, рис. 8.3.13 иллюстрирует нелинейный свёрточный кодер с восемью состояниями для прямоугольного сигнального созвездия 32-КАМ, который инвариантен к вращению фазы на 90°. Эти решётчатые коды были приняты как международный стандарт для линейных модемов телефонной связи со скоростями 9600 и 14000 бит/с (высокоскоростные).

Схемы решётчато-кодированной модуляции были также разработаны для многомерных сигналов. В практических системах многомерные сигналы передаются как последовательность или одномерных (AM) или двухмерных (КАМ) сигналов. Решётчатые коды, основанные на 4, 8, и 16 сигнальных созвездий были сконструированы и некоторые из этих кодов были внедрены в имеющиеся в распоряжении коммерческих модемов. Потенциальное преимущество решётчато - кодированных многомерных сигналов заключается в том, что мы можем использовать узко избирательные двухмерные сигнальные созвездия, что позволяет осуществлять выбор между выигрышем кодирования и сложностью реализации. Статьи Вая (1987), Унгербоека(1987), Гершо и Лоуренса (1984) и Форни и др. (1984) трактуют многомерные сигнальные созвездия для решётчато-кодовой модуляции.

Наконец мы хотим напомнить, что новая техника синтеза решётчато-кодированной модуляции, основанная на решётках и объединении решёток были описаны Кальдербанком и Слоэном (1987) и Форни (1988). Это метод конструирования решётчатых кодов обеспечивает альтернативу методу расчленения ансамблей, описанному выше Однако, эти два метода тесно связаны. Этот новый метод привёл к открытию новых мощных свёрточных кодов, включающих большие сигнальные созвездия. Многие из них приведены в статье Кальдербанка и Слоэна (1987).