8.3. КОДИРОВАННАЯ МОДУЛЯЦИЯ ДЛЯ ЧАСТОТНО-ОГРАНИЧЕННЫХ КАНАЛОВПри трактовке блоковых и свёрточных кодов в разделе 8.1 и 8.2, соответственно, было отмечено улучшение качества за счёт расширения полосы частот передаваемого сигнала на величину, обратно пропорциональную скорости кода. Напомним, для примера, что улучшение качества, достигаемое двоичным блоковым кодом В этом разделе мы рассмотрим использование кодированных сигналов для каналов с ограничением полосы. Для таких каналов, цифровые системы связи синтезируются так, чтобы использовать эффективные по полосе системы многоуровневой фазовой модуляции, такие как АИМ, ФМ, ДФМ, КАМ и работать в области, где Для примера, предположим, что система без кодирования, которая использует четырехфазовую ФМ, достигает Если модуляция трактуется, как отдельная операция, независимая от кодирования, то требуется использование очень мощных кодов (большие кодовые ограничения свёрточных кодов или большая длина блокового кода) для возмещения потерь и обеспечение некоторого достаточного выигрыша от кодирования. С другой стороны, если модуляция является частью единого процесса кодирования и она рассчитывается совместно с кодом, для увеличения минимального евклидового расстояния между парами кодированных сигналов, потери от расширения ансамбля сигналов легко преодолеть и достигается достаточный выигрыш кодирования при относительно простых кодах. Ключ для подхода к этой совместной модуляции и кодирования заключается в изобретении эффективного метода, отображения кодовых битов (символов) в сигнальные точки так, чтобы максимизировать минимальное евклидово расстояние (между парами символов!). Такой метод был разработан Унгербоеком (1982) и основан на принципе отображения рядом сочленений. Мы опишем эти принципы посредством двух примеров. Пример 8.3.1: сигнальное созвездие для восьмеричной ФМ. Расчленим восьми-фазовое сигнальное созвездие, показанное на рис. 8.3.1, на подобразы с возрастающими минимальными евклидовыми расстояниями. В восьмифазовом сигнальном ансамбле сигнальные точки располагаются на окружности радиуса
Рис. 8.3.1. Ряд расчленений для восьмеричного ансамбля сигналов ФМ При первом расчленении восемь точек подразделяются на два подобраза из четырех точек в каждом так, что минимальное расстояние между точками увеличивается до Пример 8.3.2. Сигнальные созвездия для 16-КАМ. Шестнадцатиточечное прямоугольное сигнальное созвездие показанное на рис. 8.3.2, сначала делится на два подобраза путем назначения альтернативных точек в каждом подобразе, как показано на рисунке. Таким образом, минимальное расстояние между точками увеличивается при первом расчленении с Рис. 8.3.2. Ряд расчленений дляансамбля сигналов КАМ-16 В этих двух примерах расчленения ведется до тех пор, пока каждый подобраз содержит только единственную точку. В общем, это не необходимо. Например, сигнальное созвездие 16 точечной КАМ можно расчленить только дважды, чтобы получить четыре подобраза с четырьмя точками в каждом. Аналогично сигнальное созвездие восьми фазовой ФМ можно расчленить дважды, чтобы получить четыре подобраза с двумя точками в каждом. Степень, до какой сигнал расчленяется, зависит от характеристик кода. В общем, процесс кодирования выполняется так, как показано на рис. 8.3.3. Рнс. 8.3.3. Общая структура комбинированного кодера/модулятора Блок из Пример 8.3.3. Рассмотрим использование свёрточного кода со скоростью 1 /2, показанного на рис. 8.3.4 (а) для кодирования некоторого информационного символа, в то время как второй информационный символ остается не кодированным. Рис. 8.3.4. Решётка с 4 состояниями для кодированной модуляции восьмеричной ФМ Используем их в объединении с восьми точечным сигнальным созвездием, например, восьми фазовой ФМ или восьми точечной КАМ. Два кодированных символа используются для выбора одного из четырех подобразов сигнального созвездия, в то время как оставшийся информационный символ используются для выбора одной из двух точек внутри каждого подобраза. В этом случае Рис. 8.3.5. Свёрточный кодер со скоростью 2/3 для кодирования обоих информационных символов Как блоковый, так и свёрточный коды можно использовать в объединении с расчлененным сигнальным созвездием. В общем, свёрточные коды обеспечивают сравнимый выигрыш кодирования относительно блоковых кодов, а имеющийся в распоряжении алгоритм Витерби приводит к несложной реализации декодирования мягких решений. Из этих соображений мы ограничим наше обсуждение свёрточными кодами (линейными решетчатыми кодами), а в более общем случае (нелинейными) решетчатыми кодами. Решётчатая кодированная модуляция. Рассмотрим использование сигнального созвездия 8-ми уровневой ФМ в объединении с решётчатым кодом. В качестве образца при измерении выигрыша кодирования используем не кодированную четырехфазовую ФМ (4 ФМ). Не кодированная 4 ФМ использует сигнальные точки либо подобраза Подобразы Рис. 8.3.6. Решетка для некодированной 4ФМ и решётчатый код для сигналов 8ФМ Для примера, сигнальные пути 0, 0, 0 и 2, 1, 2 разделены на В решётке из четырех состояний на рис. 8.3.6(б) Для решётки с четырьмя состояниями рис. 8.3.6(б) Рис. 8.3.7. Альтернативный решётчатый код с 4 состояниями Конструирование оптимального решётчатого кода с четырьмя состояниями для восьми, точечного созвездия было выполнено на основе следующих эвристических правил: a) параллельные переходы (когда они возникают) назначаются сигнальным точкам, разделенным максимальным расстоянием Евклида, например b) переход, начинающийся и сходящийся в некоторое состояние назначается подобразом с) сигнальные точки возникают с одинаковой частотой. Заметим, что правила Хотим указать на то, что специальное отображение кодовых символов в сигнальные точки, как иллюстрировано на рис. 8.3.1, где восемь сигнальных точек представлено в эквивалентную двоичную форму, существенно. Можно разработать иные отображения путём перестановки подобразов таким путём, чтобы сохранить основное свойство - увеличение минимального расстояния среди подобразов, В решётчатом коде с четырьмя состояниями параллельные переходы разделяются евклидовым расстоянием Для максимизации свободного Евклидова расстояния переходы состояний были определены с учетом трех базовых правил, данных выше. В этом случае можно заметить, что минимум квадрата Евклидова расстояния равно
что, по сравнению с расстоянием Рис. 8.3.8. Решетчатый код с 8 состояниями для кодированной модуляции 8ФМ Базовый принцип расчленения ансамбля легко расширить на большие сигнальные созвездия с ФМ, которые дают большую частотную эффективность. Например, 3 (бит/сГц) можно достичь или не кодированным 8 ФМ или кодированной модуляцией 16 ФМ с решётчатым кодом. Унгербоек (1987) предложил решетчатые коды и рассчитал выигрыш кодирования, достигнутый посредством простых свёрточных кодов со скоростью 1/2 и 2/3 для 16 ФМ сигнального созвездия. Эти результаты суммированы ниже. Декодирование Витерби мягких решений для решётчато-кодированной модуляции выполняется двумя ступенями. Поскольку каждая ветвь решётки соответствует сигнальному подобразу, то – первая ступень декодирования сводится к определению наилучшей точки сигнала внутри каждого подобраза, то есть точку в каждом подобразе, которая ближе по расстоянию в Вероятность ошибки решётчато-кодированных сигналов в присутствии аддитивного гауссовского шума можно рассчитать, следуя процедуре, описанной в разделе 8.2 для свёрточных кодов. Напомним, что эта процедура включает расчет вероятности ошибки для всех различных событий, приводящих к ошибке и к суммированию вероятностей этих событий для получения объединенной верхней границы для вероятности ошибки декодирования при первом пересечении. Заметим, однако, что при больших ОСШ, вероятность ошибки при первом пересечении в основном определяется лидирующим слагаемым, который имеет минимальное расстояние
где При вычислении выигрыша кодирования, достигаемого посредством решётчето-кодированной модуляции мы обычно сосредотачиваемся на выигрыше, достигаемом путём увеличения В дополнении к решётчето-кодированной ФМ модуляции, описанной выше, мощные решёточатые коды были также разработаны для сигнальных созвездий AM и КАМ. Особенно важен для практики класс решётчато-кодированных двухмерных прямоугольных сигнальных созвездий. Рис. 8.3.9 иллюстрирует эти сигнальные созвездия для M-КАМ, где Рис. 8.3.9. Прямоугольное двухмерное (КАМ) сигнальное созвездие Созвездия с Рис. 8.3.10 иллюстрирует решётчатый код с восьмью состояниями, который можно использовать в прямоугольном сигнальном созвездии Рис. 8.3.10. Решвтка с 8 состояниями для прямоугольных сигнальных созвездий с КАМ С решёткой из восьми состояний мы связываем восемь сигнальных подобразов так, что подходит любой из Задание сигнальных подобразов для переходов основывается на том же наборе базовых (эвристических) правил, описанных выше 8 ФМ сигнального созвездия. Так четыре (ветвевых) переходов, начинающихся от или входящих в то же состояние, задаются подобразами Решётчатые коды с большими размерами для Таблицы 8.3.1...8.3.3, взятые из статей Унгербоека (1987) дают суммарный выигрыш от кодирования, достигаемый при помощи решётчато — кодированной модуляции. Табл. 8.3.1 суммирует выигрыши от кодирования, достигаемые при решётчато-кодированной (одномерной) модуляцией с AM со скоростями решётчатых кодов 1/2. Заметим, что выигрыш от кодирования посредством решётчатого кода с 128 состояниями, равен 5,8 дБ для восьми уровневой AM, что близко к предельной скорости канала Табл. 8.3.2 показывает выигрыш кодирования для решётчато-кодированной 16 ФМ. Снова видим, что выигрыш кодирования для восьми и более ступеней решётки превышает 4 дБ относительно некодированной 8 ФМ. Простой код со скоростью 1/2 и 128 ступенями решётки дает выигрыш Табл. 8.3.3 содержит выигрыш кодирования, получаемый решётчато - кодированными сигналами КАМ. Относительно простой решётчатый код со скоростью 2/3 и 128 ступенями решётки дает выигрыш около 6 дБ при Таблица 8.3.1. Выигрыши кодирования для решётчато-кодированных AM сигналов
Источник: Ungerboek (1987) Таблица 8.3.2. Выигрыши кодирования для решётчато-кодированных 16-ФМ сигналов
Источник: Ungerboek (1987) Таблица 8.3.3. Выигрыши кодирования для решётчато-кодированных КАМ сигналов
Источник: Ungerboek (1987) Результаты в этих таблицах ясно иллюстрируют существенные выигрыши кодирования, достигаемые относительно простыми решётчатыми кодами. Выигрыш от кодирования в 6 дБ близок к результату для предельной скорости Поскольку пропускная способность канала определяет окончательный предел качества кодирования, мы можем подчеркнуть, что непрерывное расчленение больших ансамблей сигналов быстро ведет к разделению сигнальных точек внутри некоторого подобраза, что расширяет свободное евклидово расстояние кода. В таких случаях параллельные переходы больше не являются ограничивающим фактором для Эквивалентная реализация этих решётчатых кодов, основанная на систематических свёрточных кодерах с обратной связью, дана на рис. 8.3.12. Обычно систематические сверточные кодеры предпочтительны в практических разработках. Важнейшая проблема для линейных свёрточных кодов заключается в том, что ансамбль модулированных сигналов обычно не инвариантен к изменению фазы. Это ставит проблему в практических разработках, где обычно применяется дифференциальное кодирование, так чтобы преодолеть фазовые флуктуации в случаях, когда приемник должен восстановить фазу несущей после временных ослаблений сигналов. Проблема постоянства фазы и дифференциального кодирования/декодирования была решена Вайем (1984 Рис. 8.3.11. Минимальный кодер без обратной связи для сигналов 8-ФМ и 16-КАМ [Ungerboek (1982), © 1982 1ЕЕЕ] Схемы решётчато-кодированной модуляции были также разработаны для многомерных сигналов. В практических системах многомерные сигналы передаются как последовательность или одномерных (AM) или двухмерных (КАМ) сигналов. Решётчатые коды, основанные на 4, 8, и 16 сигнальных созвездий были сконструированы и некоторые из этих кодов были внедрены в имеющиеся в распоряжении коммерческих модемов. Потенциальное преимущество решётчато - кодированных многомерных сигналов заключается в том, что мы можем использовать узко избирательные двухмерные сигнальные созвездия, что позволяет осуществлять выбор между выигрышем кодирования и сложностью реализации. Статьи Вая (1987), Унгербоека(1987), Гершо и Лоуренса (1984) и Форни и др. (1984) трактуют многомерные сигнальные созвездия для решётчато-кодовой модуляции. Рис. 8.3.12. Эквивалентная реализация систематических свёрточных кодов с обратной связью для 8ФМ и 16КАМ [Ungerboek (1982). © 1982 IЕЕЕ] Наконец мы хотим напомнить, что новая техника синтеза решётчато-кодированной модуляции, основанная на решётках и объединении решёток были описаны Кальдербанком и Слоэном (1987) и Форни (1988). Это метод конструирования решётчатых кодов обеспечивает альтернативу методу расчленения ансамблей, описанному выше Однако, эти два метода тесно связаны. Этот новый метод привёл к открытию новых мощных свёрточных кодов, включающих большие сигнальные созвездия. Многие из них приведены в статье Кальдербанка и Слоэна (1987).
|