ЗАДАЧИ

8.1. Дана порождающая матрица линейного блокового двоичного кода.

a) выразите в систематической форме .

b) определите проверочную матрицу для кода.

c) сконструируйте таблицу синдромов для кода.

d) определите минимальное расстояние кода.

e) покажите, что кодовое слово, соответствующее информационной последовательности 101, ортогонально к .

8.2. Напишите кодовые слова, генерируемые матрицами, данными в (8.1.35) и (8.1.37) и затем покажите, что эти матрицы генерирует одинаковый ансамбль кодовых слов.

8.3. Распределение весов кодов Хемминга известно. Выраженное в виде полинома степеней распределение весов двоичного кода Хемминга с длиной блока имеет вид

где - число кодовых слов с весом . Используете эту формулу для определения распределения весов кода Хемминга (7.4) и сравните ваш результат со списком кодовых слов, данном в табл. 8.1.2.

8.4. Полином

является порождающим для двоичного кода Хемминга (15, 11).

a) определите порождающую матрицу для этого кода в систематической форме.

b) определите порождающую матрицу для дуального кода.

8.5. Для циклического кода Хемминга (7, 4) с порождающим полиномом

сконструируйте расширенный код Хемминга (8, 4) и приведите список кодовых слов. Каково для расширенного кода (?).

8.6. Линейный блоковый код (8, 4) сконструирован укорочением кода Хемминга (15, 11), генерированного порождающим поликомом

a) сконструируйте кодовые слова для кода (8, 4) и дайте их список.

b) каково минимальное расстояние кода (8, 4)?

8.7. Факторизация полинома даёт

а) сконструируйте систематический код (15, 5), использующий порождающий полином

b) каково минимальное расстояние кода?

c) сколько случайных ошибок в кодовом слове можно исправить?

d) сколько ошибок можно обнаружить кодом?

e) напишите кодовые слова кода (15, 2), сконструированного порождающим полиномом и

определите его минимальное расстояние.

8.8. Сконструируйте проверочные матрицы и соответствующие порождающим матрицам и , данные, соответственно, (8.1.34) и (8.1.35).

8.9. Сконструируйте расширенный код (8, 4) из кода Хемминга (7, 4) путём видоизменения порождающей и проверочной матриц.

8.10. Систематический код (6, 3) имеет проверочную матрицу

Сконструируйте стандартное расположение и определите корректируемые образцы ошибок и соответствующие им синдромы.

8.11. Сконструируйте стандартное расположение для кода (7, 3) с порождающей матрицей

и определите корректируемые образцы ошибок и соответствующие им синдромы.

8.12. Определите корректируемые образцы ошибок (с наименьшим весом) и их синдромы для циклического кода Хемминга (7, 4).

8.13. Докажите, что если сумма двух образцов ошибки и является действительным кодовым словом , то каждый образец ошибки имеет одинаковый синдром.

8.14. Пусть

является полиномом относительно двоичного поля.

a) найдите циклический код с наименьшей скоростью, для которого порождающим полиномом является . Какова скорость этого кода?

b) найдите минимальное расстояние кода, найденного в (а).

c) каков выигрыш кодирования для кода найденного в (а)?

8.15. Рассматривается полином относительно двоичного поля.

a) покажите, что этот полином может генерировать циклический код при любом выборе . Найдите соответствующее значение .

b) найдите систематическую форму и для кода, генерируемого посредством .

c) можете ли сказать, какого типа код создается этим порождающим полиномом?

8.16. Синтезируйте циклический код (6, 2) выбором возможно короткого порождающего полинома.

a) определите порождающую матрицу (в систематической форме) для этого кода и найдите все возможные кодовые слова.

b) сколько ошибок может корректировать этот код?

8.17. Докажите, что суммирование любых двух комбинаций в одной строке стандартного расположения даёт возможное кодовое слово.

8.18. Исходя из БЧХ кода (15, 7), сконструируйте укороченный код (12, 4). Дайте порождающую матрицу для укороченного кода.

8.19. В разделе 8.1.2 было указано, что когда код Адамара отображается в сигналы посредством двоичной ФМ соответствующие сигналов ортогональны. Определите показатель расширения полосы для ортогональных сигналов и сравните с требованиями по полосе для ортогональных сигналов ФМ при когерентном детектировании.

8.20. Покажите, что сигналы, генерируемые кодом регистра сдвига максимальной длины при
отображении каждого кодового символа в кодовом слове двоичным ФМ сигналом одинаково коррелированны с коэффициентом корреляции , то есть сигналов образует симплексный ансамбль.

8.21. Вычислите вероятность ошибки декодирования, получаемой в канале с АБГШ при использовании кода Хемминга (7, 4) при декодировании жёстких и мягких решений. Используйте (8.1.50), (8.1.52), (8.1.82), (8.1.90) и (8.1.91).

8.22. Используйте результаты раздела 2.1.6 полученные для границы Чернова при декодировании жёстких решений (формулы (8.1.89) и (8.1.90)). Предположив, что передано кодовое слово из одних нулей, определите верхнюю границу для вероятности того, что выбрано декодером кодовое слово , имеющее вес . Это имеет место, если или больше символов принято с ошибкой. Для определения границы Чернова определите последовательность из случайных величин, как

где , а - вероятность ошибки в канале. Для ДСК величины статистически независимы.

8.23. Свёрточный код описывается генераторами

a) получите кодер, соответствующий этому коду,

b) получите диаграмму состояний для этого кода,

c) получите решётчатую диаграмму для этого кода,

d) найдите передаточную функцию и свободное расстояние этого кода,

e) проверьте, является ли этот код катастрофическим.

8.24. Свёрточный код из задачи 8.23 используется для передачи по каналу с АБГШ при декодировании жёстких решений. Выходом детектора (демодулятора) является (101001011110111...). Используя алгоритм Витерби, найдите переданную последовательность.

8.25. Повторите задачу 8.23 для кода с генераторами

8.26. Блок-схема двоичного свёрточного кодера показана на рисунке Р.8.26.

a) получите диаграммы состояний кода.

b) найдите передаточную функцию кода .

c) каково минимальное свободное расстояние кода ?

d) предположите, что сообщение кодируется этим кодом и передается через двоичный симметричный канал с вероятностью ошибки . Используя алгоритм Витерби, найдите переданную последовательность символов, если принята последовательность .

е) найдите верхнюю границу для вероятности ошибочного декодирования, если используется указанный выше двоичный симметричный канал. Сделайте приемлимую аппроксимацию. 8.27. Блок схема свёрточного кода (3, 1) показана на рисунке Р.8.27.

Рис. Р.8.27

a) получите диаграммы состояний кода.

b) найдите передаточную функцию кода .

c) найдите минимальное свободное расстояние кода и покажите соответствующий путь (на расстоянии относительно кодового слова из одних нулей) на решетке.

d) предположите, что четыре двоичных информационных символа , за которыми следуют два нуля закодированы. Эта информация передается по двоичному симметричному каналу с переходной вероятностью ошибки 0, 1. Принимаемая последовательность такова (111, 111, 111, 111, 111, 111). Используйте алгоритм декодирования Витерби, чтобы найти переданную последовательность данных.

8.28. Для свёрточного кода, генерируемого кодером показанным на рисунке Р.8.28:

Рис.Р.8.28

a) Найдите передаточную функцию кода в форме .

b) Найдите свободное расстояние кода .

c) Найдите верхнюю границу для средней вероятностной ошибки на бит, используя границу для вероятности ошибочного декодирования жёстких решений, если код используется в канале при условии, что переходная вероятность ошибки в канале .

8.29. На рис. Р.8.29 изображён свёрточный код со скоростью 1/2 и кодовым ограничением

Рис. Р.8.28

a) Нарисуйте древовидную диаграмму кода, решётчатую диаграмму и диаграмму состояний.

b) Найдите передаточною функцию и по ней определите минимальное свободное расстояние.

8.30. На рисунке Р.8.30 показан свёрточный код со скоростью 1/2, :

a) Получите дерево кода, диаграмму решётки и диаграммы состояний.

b) Определите передаточную функцию и с ее помощью найдите минимальное свободное расстояние.

Рис. Р.8.30

8.31. Нарисуйте схемы свёрточных кодеров по следующим параметрам:

a) Скорость кода 1/2, , максимальное свободное расстояние (табл. 8.2.1).

b) Скорость кода 1/3, , максимальное свободное расстояние (табл. 8.2.2).

c) Скорость кода 2/3, , максимальное свободное расстояние (табл. 8.2.8).

8.32. Получите диаграмму состояний для свёрточного кода со скоростью 2/3, , указанных в задаче 8.31(с) и покажите для каждого перехода выходную последовательность и расстояние выходной последовательности от последовательности, состоящей из одних нулей.

8.33.Рассмотрите свёрточный код со скоростью 1/2, , показанный на рисунке Р.8.30. Предположим, что код используется в двоичном симметричном канале и принимаемая последовательность для первых восьми ветвей такова 0001100000001001. Постройте диаграмму решётки. Проследите за решением по диаграмме решётки и пометьте у выживших путей расстояние Хемминга на каждом узле. Если возникнет неувязка с метриками, требуемыми для решения, выберете верхний путь (произвольный выбор).

8.34. Используйте передаточную функцию, полученную в задаче 8.30 для свёрточного кода со скоростью , для расчета вероятности ошибки на бит в канале с АБГШ при декодировании жёстких решений и мягких решений . Сравните качество, построив результаты расчетов на одном графике.

8.35. Используйте генераторы, данные (8.2.36) для получения кодера для функции 3-дуального свёрточного кода со скоростью 1/2. Определите диаграмму состояний и получите передаточную функцию .

8.36. Получите диаграмму состояний для свёрточного кода, генерируемого кодером, показанным на рисунке Р.8.36 и затем определите является ли код катастрофическим или нет. Также дайте пример свёрточного кода со скоростью 1/2, , который проявляет катастрофические распространения ошибок.

Рис. Р.8.36

8.37. Решётчато-кодированный сигнал формируется так, как показано на рисунке Р.8.37 путём кодирования одного символа посредством свёрточного кода со скоростью 1/2 а три дополнительных информационных символа остаются некодированными. Образуйте расчленение ансамбля созвездия 32КАМ (крест) и укажите подобразы в расчленении. Насколько увеличится расстояние между соседними сигнальными точками в результате расчленения?

Рис. Р.8.37

8.38. Пусть и - два кодовых слова длины с расстоянием и предположите, что эти два кодовых слова передаются по двоичному симметричному каналу с переходной вероятностью ошибки . Пусть обозначает вероятность ошибки при передаче этих кодовых слов.

а) Покажите, что

где суммирование ведется по всем двоичным последовательностям

b) Из вышесказанного заключите, что