9.2.1. Синтез ограниченных по полосе сигналов при отсутствии межсимвольной интерференции - критерий Найквиста

В этом разделе и в 9.2.2 мы предположим, что ограниченные по полосе каналы имеют идеальную частотную характеристику, т.е.  для . Тогда импульс  имеет спектральную характеристику , причём

.                    (9.2.9)

Мы интересуемся спектральными свойствами импульса  и затем передаваемого импульса , когда нет межсимвольной интерференции. Поскольку

.                     (9.2.10)

то условие отсутствия МСИ можно записать так

                     (9.2.11)

Ниже мы определим необходимые и достаточные условия для  для того, чтобы  импульс  удовлетворял бы вышеуказанному соотношению. Это условие известно, как критерий отсчётности сигнала Найквиста или условие Найквиста для нулевой МСИ. Оно формулируется следующей теоремой.

Теорема (Найквиста). Необходимое и достаточное условие для того, чтобы  удовлетворяло условиям

                    (9.2.12)

сводится к тому, чтобы преобразование Фурье  удовлетворяло условию

.                     (9.2.13)

Доказательство.

В общем  определяется обратным преобразование Фурье . Следовательно,

.                     (9.2.14)

В точках отсчета  это соотношение принимает вид

.                      (9.2.15)

Разобьем интеграл в (9.2.15) на интегралы, перекрывающие ограниченные области частот . Тогда получаем

         (9.2.16)

где мы определили  так:

.                      (9.2.17)

Очевидно, что  является периодической функцией с периодом  и, следовательно, ее можно представить рядом Фурье

,                                  (9.2.18)

где

.                      (9.2.19)

Сравнив (9.2.19) и (9.2.16) находим

.                      (9.2.20)

Следовательно, достаточное и необходимое условие для (9.2.11) сводится к тому, что

                       (9.2.21)

Подстановка этого условия в (9.2.18) дает

                                (9.2.22)

или, что эквивалентно

.                       (9.2.23)

Этим заканчивается доказательство теоремы.

Теперь предположим, что канал имеет полосу . Тогда  для  и следовательно,  для . Мы рассмотрим три случая.

1. Когда  или, что эквивалентно . Поскольку  состоит в этом случае из неперекрывающихся копий , разделенных интервалом , как показано на рис. 9.2.4, то нет возможности выбрать  так, чтобы удовлетворить условию , и таким путем мы не сможем синтезировать систему без МСИ.

Ряс. 9.2.4. Кривая  для случая

2. Когда  или, что эквивалентно,  (скорость Найквиста), повторения , разделенные интервалом , показаны на рис. 9.2.5. Ясно, что в этом случае существует только одна характеристика , которая удовлетворяет условию , именно

                       (9.2.24)

что ведёт к импульсу

                     (9.2.25)

Это значит, что наименьшее значение , при котором возможна передача с нулевой МСИ, это , и при этом условии  является функцией . Трудности такого выбора функции  заключаются в том, что она некаузальная и, следовательно, не реализуемая.

Рис. 9.2.5. Кривая  для случая

Чтобы сделать её реализуемой, обычно вводят задержку, т.е. используется функция , а  выбирается так, чтобы при  иметь . Конечно, при таком выборе  время стробирования также надо сдвигать до . Вторая трудность с такой огибающей импульса заключается в том, что скорость её сходимости к нулю медленная. «Хвосты» от  затухают, как , следовательно, малая ошибка в моменте взятия отсчёта на выходе согласованного фильтра демодулятора ведет к неограниченному ряду компонент МСИ. Такой ряд абсолютно не сходится из-за низкой скорости затухания импульса  и, следовательно, результирующая МСИ в принципе не сходится.

3. Когда , то  состоит из перекрывающихся копий , разделенных интервалом , как показано на рис. 9.2.6. В этом случае существует несчётное число выборов , при которых .

Рис. 9.2.6. Кривая  для случая

Частный спектр импульса для случая , который имеет требуемые спектральные свойства и который широко используется на практике – это спектр приподнятого косинуса. Частотная характеристика приподнятого косинуса (см. задачу 9.11) определяется так:

,             (9.2.26)

где  называется коэффициентом ската и принимает значение в области . Полоса, которую сигнал занимает вне полосы Найквиста , называют излишком полосы, и он обычно сражается в процентах от полосы частот Найквиста. Например, если , излишек полосы равен 50%, а когда , излишек полосы равен 100%. Импульс , имеющий спектр приподнятого косинуса, определяется так:

.             (9.2.27)

 

Заметим, что  нормирован так, что . Рис. 9.2.7 иллюстрирует спектральные характеристики приподнятого косинуса и соответствующие импульсы для  и .

Рис 9.2.7. Импульсы, имеющие спектр типа приподнятого косинуса

Заметим, что при  импульс вырождается в , а скорость передачи символов равна . Если  скорость передачи символов . В общем, хвосты  убывают как  для . Следовательно, ошибка при стробировании отсчетов ведет к ряду компонент МСИ, который сходится к конечной величине.

С учетом «гладкостных» характеристик спектра приподнятого косинуса возможно синтезировать реализуемые фильтры для передатчика и приёмника, которые аппроксимируют желательные суммарные частотные характеристики. В частном случае, когда канал идеален, т.е. , , имеем

,                      (9.2.28)

где  и  - частотные характеристики двух указанных фильтров. В том случае, когда фильтр на приёме согласован с фильтром на передаче, имеем

.

В идеале

,                      (9.2.29)

и , а  - некоторая номинальная задержка, которая должна удовлетворить физической реализуемости фильтра. Таким образом, суммарная спектральная характеристика приподнятого косинуса расщепляется поровну между фильтрами передатчика и приёмника. Подчеркнем также, что необходима дополнительная задержка для обеспечения физической реализуемости фильтра на приеме.