9.2.3. Детектирование данных при контролируемой МСИ

В этом разделе мы опишем два метода детектирования информационных символов на приёме, когда принимаемый сигнал содержит контролируемую МСИ. Одним из них является посимвольный метод детектирования, который относительно легко реализовать. Второй метод базируется на правиле максимального правдоподобия для детектирования последовательности символов. Последний метод минимизирует вероятность ошибки, но он немного сложнее для реализации. В частности, мы рассмотрим детектирование дуобинарных и модифицированных дуобинарных сигналов с парциальным откликом. В обоих случаях мы предполагаем, что желательная спектральная характеристика  для сигнала с парциальным откликом распределена поровну между фильтрами передатчика и приёмника, т.е. . Наша трактовка базируется на сигналах AM, но она легко обобщается на КАМ и ФМ.

Посимвольное субоптимальиое детектирование. Для дуобинарного импульса сигнала  для  и  в других точках. Следовательно, отсчёты на выходе фильтра приёмника (демодулятора) имеют вид

,                        (9.2.45)

где  передаваемая последовательность амплитуд, a  - последовательность отсчетов аддитивного гауссовского шума. Пренебрежем на время шумом и рассмотрим двоичный случай, когда  с равной вероятностью. Тогда  принимает одно из трех возможных значений, именно  с соответствующими вероятностями . Если  - продетектированный символ на -м тактовом интервале, то он влияет на , и принимаемый сигнал на -м тактовом интервале можно восстановить вычитанием, что позволяет продетектировать . Этот процесс можно повторять последовательно для каждого принимаемого символа.

Важнейшая проблема при использовании этой процедуры заключается в том, что ошибки, возникающие от действия шума, имеют тенденцию размножаться. Например, если  принят с ошибкой, то его влияние на  усиливается из-за неправильного вычитания. Следовательно, высока вероятность того, что и детектирование  будет ошибочным.

Размножение ошибок может быть преодолено путем предварительного кодирования данных на передаче вместо ограничения контролируемого МСИ путем вычитания на приёме. Предварительное кодирование выполняется над последовательностью двоичных данных до модуляции. Из последовательности  из 1 и 0, которые должны быть преданы, генерируется новая последовательность , называемая предварительно кодированной последовательностью. Для дуобинарного сигнала, предварительно кодированная последовательность определяется так

                       (9.2.46)

где  означает вычитание по модулю . Тогда мы полагаем , если  и , если , т.е. . Заметим, что эта операция предварительного кодирования идентична той, которая описана в разделе 4.3.2 в контексте нашего обсуждения двоичного сигнала без возврата к нулю с памятью (ДБНП или NRZI).

Свободные от шума отсчеты на выходе фильтра приёмника равны

.                       (9.2.47)

Следовательно,

.                        (9.2.48)

Поскольку , то следует, что последовательность  получается из  посредством отношения

.                         (9.2.49)

Следовательно, если  тогда  и, если , то .

Пример, который использует операции предварительного кодирования и декодирования дан в табл. 9.2.1.

Табл. 9.2.1. Передача двоичных символов посредством дуобинарных импульсов.

Данные последовательности		1	1	1	0	1	0	0	1	0	0	0	1	1	0	1
Предварительно кодированная   последовательность	0	1	0	1	1	0	0	0	1	1	1	1	0	1	1	0
Переданная последовательность	-1	1	-1	1	1	-1	-1	-1	1	1	1	1	-1	1	1	-1
Принятая последовательность		0	0	0	2	0	-2	-2	0	2	2	2	0	0	2	0
Декодированная последовательность		1	1	1	0	1	0	0	1	0	0	0	1	1	0	1

В присутствии аддитивного шума, выходные отсчеты фильтра приёмника определяются согласно (9.2.45). В этом случае  сравнивается с двумя пороговыми уровнями  и . Последовательность данных  получается согласно правилу детектирования

                      (9.2.50)

Расширение от двоичной AM до многоуровневой AM с использованием дуобинарных импульсов выполняется непосредственно. В этом случае последовательность  с -уровневыми амплитудами приводит к последовательности (при отсутствии шума)

                       (9.2.51)

с  возможными равноудаленными уровнями. Уровни амплитуд определяются из отношения

,                       (9.2.52)

где  - предварительно   кодированная  последовательность, которая получается из -уровневой последовательности данных  согласно отношению

,                        (9.2.53)

где возможные значения последовательности  равны .

В отсутствии шума, отсчеты на выходе фильтра приёмника можно выразить так

.                        (9.2.54)

Следовательно,

.                         (9.2.55)

Поскольку  следует

.                        (9.2.56)

Пример, иллюстрирующий многоуровневое предварительное кодирование и декодирование, дан в табл. 9.2.2.

Табл.9.2.2. Передача 4-позиционных символов посредством дуобинарных импульсов

Данные последовательности		0	0	1	3	1	2	0	3	3	2	0	1	0
Предварительно кодированная   последовательность	0	1	0	1	1	0	0	0	1	1	1	1	0	1
Переданная последовательность	-3	1	-1	1	1	-1	-1	-1	1	1	1	1	-1	1
Принятая последовательность		0	0	0	2	0	-2	-2	0	2	2	2	0	0
Декодированная последовательность		1	1	1	0	1	0	0	1	0	0	0	1	1

В присутствии шума принимаемый сигнал квантуется к ближайшим возможным уровням сигнала и правило, данное выше, применяется к квантовым значениям для восстановления последовательности данных.

В случае модифицированного дуобинарного импульса, контролируемая МСИ определяется величинами  для  для  и нулю в других точках. Следовательно, свободные от шума отсчеты выхода фильтра приёмника определяются так

,                        (9.2.57)

где -уровневая последовательность  получается путем отображения предварительно кодированной последовательности согласно отношению (9.2.52) и

                        (9.2.58)

Из этих соотношений легко показать, что правило детектирования для восстановления последовательности данных  по  в отсутствии шума таково

.                          (9.2.59)

Как показано выше, предварительное кодирование данных на передаче делает возможным детектировать принимаемые данные посимвольно без необходимости оглядываться назад на предшествующие детектированные символы. Таким образом преодолевается размножение ошибок.

Посимвольное правило детектирования, описанное выше, не реализует оптимальную схему детектирования для сигналов с парциальным откликом, из-за памяти, свойственной принимаемому сигналу. Все же посимвольное детектирование относительно просто реализуется и оно применяется во многих практических приложениях, использующих дуобинарный и модифицированный сигнальные импульсы. Его качество вычисляется в следующем разделе.

Максимально-правдоподобное последовательное детектирование. Ясно из предыдущего обсуждения, что сигналы с парциальным откликом являются сигналами с памятью. Эту память удобно представить решеткой. Например, на рис. 9.2.11 представлена решетка для дуобинарного сигнала с парциальным откликом для передачи двоичных данных.

Рис. 9.2.11. Решётка для дуобинарного сигнала с парциальным откликом

Для двоичной модуляции решетка содержит два состояния, соответствующие двум возможным выходным величинам , т.е. . Каждая ветвь в решетке обозначается двумя числами. Первое число слева - это новый символ, т.е. . Это число определяет переход в новое состояние. Число справа - это уровень принимаемого сигнала.

Дуобинарный сигнал имеет память длины . Следовательно, для двоичной модуляции решетка имеет  состояния. В общем, для -ичной модуляции, число состояний решетки равно .

Оптимальный детектор максимального правдоподобия (МП) последовательности выбирает наиболее правдоподобный путь по решетке после наблюдения последовательности принимаемых данных.  в отсчетных моментах . В общем, каждый узел решетки имеет  входящих путей и  соответствующих метрик. Основываясь на величинах метрик, один вход из  приходящих путей выбирается как наиболее вероятный, а остальные  путей и их метрики отбрасываются. Выживший путь в каждом узле затем продолжается в  новых путях, один для каждого из  возможных входных символов, и процесс поиска продолжается. Это в своей основе алгоритм Витерби для выполнения поиска по решетке.

Для класса сигналов с парциальным откликом принимаемая последовательность  в общем описывается статически совместной ФПВ , где

 и  и . Если аддитивный шум гауссовский с нулевым средним,  является многомерной гауссовской ФПВ, т.е.

,                 (9.2.60)

где  - среднее значение вектора , а  является  матрицей ковариации для . Затем МП детектор последовательности выбирает последовательность по решетке, которая максимизирует ФПВ .

Расчет для нахождения наиболее правдоподобной последовательности по решетке упрощается, если взять натуральный логарифм от . Тогда

.        (9.2.61)

При заданной принимаемой последовательности  нахождение последовательности , которая максимизирует  идентично нахождению последовательности , которая минимизирует , т.е.

.                       (9.2.62)

Вычисление метрик при поиске по решетке усложняется из-за корреляции отсчетов шума на выходе согласованного фильтра для сигнала с парциальным откликом. Для примера, в случае дуобинарного сигнала, корреляция шумовой последовательности  простирается на два соседних сигнала. Следовательно,  и  коррелированны для  и некоррелированы для . В общем, сигнал с парциальным откликом с памятью  приводит к коррелированной шумовой последовательности на выходе согласованного фильтра, которая удовлетворяет условию  для . В этом случае алгоритм Витерби для выполнения поиска по решетке может быть модифицирован, как описывается в главе 10.

Некоторое упрощение в вычислении метрик получается, если мы пренебрежем корреляцией шума, предположив, что  для . Тогда, при нашем предположении матрица ковариаций , где , а  является  единичной матрицей. В этом случае (9.2.62) упрощается

,              (9.2.63)

где , а  - отсчётные значения сигналов с парциальным откликом. В этом случае вычисление метрик в каждом узле решетки выполняется так

,                        (9.2.64)

где  - дистанционные метрики в момент  -дистанционные метрики в момент , а второе слагаемое в правой части (9.2.64) представляет новое приращение к метрике, основанное на новый принимаемый отсчет .

Как указано в разделе 5.1.4, МП декодирование последовательности приводит, вообще говоря, к переменной задержке при декодировании каждого кодового информационного символа. На практике, переменная задержки преодолевается путем усечения выживших последовательностей до  последних символов, где , так достигается фиксированная задержка решения. Для случая, когда  выживших последовательностей в момент  определяют разные значения для символа , то символ может быть выбран по наиболее вероятной выжившей последовательности. Потери в качестве, связанные с таким усечением, пренебрежимо малы, если .