9.2.4. Синтез сигналов для каналов с искажениями

В разделах 9.2.1. и 9.2.2 мы описали правило синтеза сигналов (фильтров) для фильтра модулятора на передаче и фильтра демодулятора на приёме для случая идеального канала. В этом разделе мы выполним синтез сигналов при условии, что канал искажает передаваемый сигнал. Мы предполагаем, что частотная характеристика канала  известна для  и что  для . Правило оптимизации характеристик фильтров  и  обеспечивает максимизацию ОСШ на выходе фильтра демодулятора или, что эквивалентно, на входе детектора. Аддитивный шум канала предполагается гауссовским со спектральной плотностью мощности . Рис. 9.2.12 иллюстрирует всю рассматриваемую систему.

Рис. 9.2.12. Модель системы для синтеза фильтров модулятора и демодулятора

Сигнальные компоненты на выходе фильтра демодулятора должны удовлетворять условию

,                      (9.2.65)

где  является желательной частотной характеристикой каскада из модулятора, канала и демодулятора, a  - время задержки, которое необходимо для удовлетворения физической реализуемости фильтров модулятора и демодулятора. Желательную частотную характеристику  можно выбрать так, чтобы обеспечить или нулевую МСИ или контролируемую МСИ в точках отсчёта. Мы выполним оптимизацию для нулевой МСИ, выбирая , где  - спектр приподнятого косинуса с произвольным коэффициентом ската.

Шум на выходе фильтра демодулятора можно выразить так

,                      (9.2.66)

где  - шум на входе фильтра. Поскольку  - гауссовский процесс с нулевым средним, то и  - гауссовский процесс с нулевым средним и со спектральной плотностью мощности

.                        (9.2.67)

Для простоты мы рассмотрим передачу двоичной AM. Тогда выходные отсчёты согласованного фильтра

,                      (9.2.68)

где  нормирована к единице, , a  представляет слагаемое шума, которое является гауссовским с нулевым средним и дисперсией

.                      (9.2.69)

Следовательно, вероятность ошибки равна

.                       (9.2.70)

Вероятность ошибки минимизируется при максимизации  или, что эквивалентно, минимизации отношение шум/сигнал . Но  связан со средней мощностью переданного сигнала так:

.                     (9.2.71)

  должно быть выбрано так, чтобы удовлетворять условию нулевой МСИ. Следовательно,

                      (9.2.72)

и  для . Следовательно,

.                    (9.2.73)

Таким образом, отношение шум/сигнал, которое должно быть минимизировано по  для , равно

.                     (9.2.74)

Оптимальное значение  можно найти, использовав неравенство Коши-Шварца

,                       (9.2.75)

где  и  определены так:

.                       (9.2.76)

Минимальное значение (9.2.74) получается, если  пропорционально  или, что эквивалентно, когда

,                      (9.2.77)

где  - произвольная константа. Соответствующий фильтр модулятора имеет амплитудную характеристику

.                     (9.2.78)

Наконец, максимум ОСШ, достигаемый этими оптимальными на передаче и приёме фильтрами

.                      (9.2.79)

Заметим, что оптимальные фильтры модулятора и демодулятора определены только по амплитудно-частотной характеристике. Фазовые характеристики  и  можно выбрать так, чтобы удовлетворить условию (9.2.65), т.е.

,                       (9.2.80)

где  - фазовые характеристики фильтра модулятора, канала и фильтра демодулятора, соответственно.

В частном случае, когда аддитивный шум на входе демодулятора гауссовский и белый со спектральной плотностью мощности , оптимальные характеристики фильтров, определяемые (9.2.77) и (9.2.78), выражаются так

                       (9.2.81)

где  и  - произвольные скалярные множители. Заметим, что в этом случае  - АЧХ фильтра, согласованного с фильтром, имеющим характеристику . Соответствующее ОСШ детектора, определяемые (9.2.79), приводится к виду

.                     (9.2.82)

Пример 9.2.1. Определим оптимальные фильтры на передаче и приёме для двоичной системы связи, которая передает данные со скоростью 4800 бит/с по каналу с частотной характеристикой

,                      (9.2.83)

где . Аддитивный шум гауссовский, с нулевым средним и спектральной плотностью мощности  Вт/Гц.

Поскольку , мы используем импульс сигнала со спектром приподнятого косинуса с . Таким образом,

.                       (9.2.84)

Затем

                       (9.2.85)

и  в другой области частот. Рис. 9.2.13 даёт АЧХ фильтра .

Можно теперь использовать эти оптимальные фильтры для определения величины передаваемой энергии , требуемой для достижения заданной вероятности ошибки. Эта задача оставлена в качестве упражнения для читателя.

Рис. 9.2.13. Частотная характеристика оптимального фильтра передачи