9.3.2. Вероятность ошибки при детектировании сигналов с парциальным откликом

В этом разделе мы определим вероятность ошибки при детектировании сигналов -ичной AM, используя дуобинарные и модифицированные дуобинарные импульсы. Канал ачитается идеальным, ограниченным по полосе, с АБГШ. Модель для системы связи показана на рис. 9.3.1.

Рис. 9.3.1 Блок-схема модулятора и демодулятора для сигнала с парциальным откликом

Мы рассмотрим два типа детекторов. Первый - это посимвольный детектор, а второй –оптимальный МП детектор последовательности, описанный в предыдущем разделе.

Посимвольный детектор. На передаче -уровневая последовательность данных  подвергается предварительному кодированию, как описано ранее. Выход предварительного кодера отображается одним из  возможных уровней амплитуды. Затем на выходе фильтра передатчика с частотной характеристикой  появляется сигнал

.                       (9.3.6)

При парциальном отклике частотная функция  делится поровну между фильтрами передатчика и приёмника. Фильтр приёмника согласован с  переданным импульсом, а каскадное объединение двух фильтров дает частотную характеристику

.                         (9.3.7)

Выход согласованного фильтра стробируется в моменты  и отсчеты питают декодер. Для дуобинарного сигнала выход согласованного фильтра в точках отсчёта можно выразить так

,                      (9.3.8)

где  - аддитивная компонента шума. Аналогично выход согласованного фильтра для модифицированного дуобинарного сигнала равен

.                         (9.3.9)

При двоичной передачи положим , где  - расстояние между соседними уровнями сигнала. Тогда соответствующие значения  равны . При передаче -уровней AM, когда , уровни принимаемого сигнала равны . Таким образом число уровней принимаемых сигналов равно , а скалярный множитель  эквивалентен .

Входные передаваемые символы  считаются равновероятными. Тогда, для дуобинарной и модифицированной дуобинарного сигналов легко показать, что, в отсутствии шума, уровни принимаемых сигналов имеют (треугольное) распределение вероятностей в виде

,                       (9.3.10)

где  означает свободные от шума принимаемые уровни, a -расстояние между двумя соседними уровнями сигналами.

Канал искажает передаваемый сигнал путем добавления к нему гауссовского шума с нулевым средним и спектральной плотностью мощности  .

Предположим, что ошибка символа возникает тогда, когда шумовая компонента на выходе демодулятора превышает некоторый порог . Компонента шума  является гауссовской с нулевым средним и с дисперсией

                     (9.3.11)

как для дуобинарного, так и для модифицированного дуобинарного сигналов. Таким образом, верхняя граница для вероятности ошибки символа определяется так:

      (9.3.12)

Но

.                       (9.3.13)

Следовательно, средняя вероятность ошибки (вероятность ошибочного приёма) символа ограничена сверху так:

.                     (9.3.14)

Скалярный множитель  в (9.3.14) может быть исключён путём его выражения через среднюю мощность сигнала, переданную по каналу. Для -ичной AM, уровни которой передаются равновероятно, средняя мощность на выходе фильтра передатчика равна

,                   (9.3.15)

где  значение среднего квадрата -уровневого сигнала, который равен

.                    (9.3.16)

Следовательно,

.                      (9.3.17)

Подставив величину  из (9.3.17) в (9.3.14), получим верхнюю границу для вероятности ошибки на символ

,                      (9.3.18)

где  - средняя энергия на переданный символ, которую можно также выразить через среднюю энергию на бит (битовую энергию ), так: .

Выражение (9.3.18) для вероятности ошибки -уровневой AM справедлива как для дуобинарного, так и модифицированного дуобинарного сигналов с парциальным откликом. Если сравним этот результат с вероятностью ошибки -уровневой AM с нулевой МСИ, которую можно получить используя сигнальный импульс со спектром приподнятого косинуса, мы видим, что качество дуобинарного или модифицированного дуобинарного сигналов с парциальным откликом имеют энергетическую потерю  или 2,1 дБ. Эта потеря в ОСШ обусловлена тем, что детектор сигналов с парциальным откликом делает посимвольное решение, тем самым игнорируя внутреннюю память, которая имеется в принимаемом сигнале на входе детектора.

Последовательный детектор максимального правдоподобия. Последовательный МП детектор, который ищет по решётке наиболее вероятную переданную последовательность , ранее описан в разделе 9.2.3. На каждом шаге процесса поиска детектор сравнивает метрики путей, которые сходятся у каждого узла и выбирает путь, который наиболее правдоподобен для каждого узла. Качество детектора можно рассчитать путём определения вероятности ошибочных событий, основываясь на метрики евклидового расстояния, как это было сделано при декодирования мягких решений свёрточных кодов. Общее исследование дано в разделе 10.1.14. Для случая дуобинарного и модифицированного дуобинарного сигналов оно показывает, что потеря в 2,1 дБ, присущая посимвольному детектору, полностью компенсируется последовательным МП детектором.