11.1.2. Алгоритм наименьших квадратов (НК)

При минимизации СКО, обсуждённой в разделе 10.2.2, мы нашли, что оптимальные коэффициенты эквалайзера определяются из решения системы линейных уравнений, выраженной в матричной форме:

                                                           

где - ковариационная матрица размером  отсчетов сигнала , - вектор-столбец из  коэффициентов эквалайзера, а  - вектор-столбец канальных коэффициентов фильтра размерности . Решение для вектора коэффициентов  оптимального эквалайзера можно получить путём обращения ковариационной матрицы , что можно эффективно выполнить посредством алгоритма Левинсона-Дурбина, описанного в приложении А.

Альтернативно для вычисления  можно использовать итеративную процедуру, которая избегает обращения матрицы. Вероятно простейшая итеративная процедура – это метод крутого спуска, когда можно начинать выбором произвольного начального вектора , скажем . Этот первоначальный выбор коэффициентов соответствует некоторой точке поверхности квадратичной функции СКО в пространстве коэффициентов размерности . Затем в этой точке на поверхности СКО вычисляется градиентный вектор , имеющий  градиентных компонент , . На каждом шаге вес меняется в направлении, противоположному соответствующей градиентной компоненте. Изменение веса на -м шаге пропорционально объему -ой градиентной компоненты. Таким образом, последовательные значения коэффициентов  определяются согласно отношениям

                

а вектор градиента  равен

               

Вектор  представляет набор коэффициентов -й итерации,  является сигналом ошибки на -й итерации.  - вектор отсчетов принимаемого сигнала, по которым делаются оценки  , т.е. , а  - положительное число, выбираемое достаточно малым для того, чтобы обеспечить сходимость итеративной процедуры. Если минимум СКО достигнут на некотором шаге , тогда , так что дальнейшие изменения у шаговых весов не происходят. В общем случае, при методе кратчайшего спуска точное значение  нельзя получить при конечных величинах . Однако, к нему можно как угодно приблизиться при некотором конечном значении .

Принципиальная трудность метода кратчайшего спуска для определения оптимальных шаговых весов – это отсутствие знания вектора градиента , который зависит как от ковариационной матрицы , так и от вектора  взаимных корреляций. В свою очередь, эти величины зависят от коэффициентов  эквивалентной модели канала с дискретным временем и от ковариаций информационной последовательности и аддитивного шума. Все эти величины могут быть, в общем, неизвестны на приёме. Чтобы преодолеть  эти трудности, можно использовать оценку вектора градиентов. Это значит, что алгоритм настройки коэффициентов шаговых весов можно выразить в форме

                                           

где  означает оценку вектора градиентов , а  означает оценку вектора коэффициента .

Из (11.1.8) мы замечаем, что  равно обратной величине математического ожидания , следовательно, оценка  равна

                                                  

Поскольку , оценка  является несмещенной оценкой правильного вектора градиента . Подстановка (11.1.10) в (11.1.9) даёт алгоритм

                                        

Это базовый алгоритм НК (наименьших квадратов) для рекуррентной настройки коэффициентов шаговых весов эквалайзера, впервые предложенный Уидроу и Хоффом (1960). Он иллюстрируется в эквалайзере, показанном на рис.11.1.2.

Базовый алгоритм (11.1.11) и некоторые из его возможных вариантов были внедрены во многих коммерческих адаптивных эквалайзерах, которые используются в высокоскоростных модемах. Три варианта базового алгоритма были получены путем использования только информации о знаке, содержащейся в сигнале ошибки  и (или) в компонентах . Таким образом, три возможных варианта алгоритма определяются так

             

               

   

где определяется так

             

(Заметим, что в (11.1.15) , что следует отличать от индекса  в (11.1.12)-(11.1.14)). Ясно, что алгоритм (11.1.14) реализуется существенно легче, но он дает наиболее медленную сходимость по сравнению с другими.

Рис. 11.1.2. Линейный адаптивный эквалайзер, основанный на критерии минимума СКО

Несколько других вариантов алгоритма НК можно получить путем усреднения или фильтрации векторов градиентов по нескольким итерациям до выполнения настройки коэффициентов эквалайзера. Например, усреднение по  векторам градиентов даёт

                         

а соответствующее рекуррентное уравнение для адаптации коэффициентов эквалайзера по  итерациями имеет вид

                                  

Действительно, операция усреднения согласно (11.1.16) уменьшает шум в оценке вектора градиентов, как показано Гарднером (1987).

Альтернативный подход сводится к фильтрации шумовых составляющих градиента с помощью низкочастотного фильтра и использованию выхода фильтра как оценки вектора градиента. Например, простой низкочастотный фильтр для шумовых градиентов даёт выход

       

где выбор  определяет полосу пропускания низкочастотного фильтра. Если  близко к единице, полоса фильтра мала и эффективное усреднение осуществляется по многим векторам градиентов. С другой стороны, если  мало, низкочастотный фильтр имеет большую полосу и, следовательно, он обеспечивает малое усреднение по векторам градиентов. С фильтрацией векторов градиентов по (11.1.18) вместе  мы получаем алгоритм НК с фильтрацией градиентов, определяемой так

                                           

В вышеприведенном обслуживании было предположено, что приёмник имеет знание о переданной информационной последовательности при формировании сигналов ошибки между желательным символом и его оценкой. Такое знание можно получить в течение короткого периода обучения, когда к приемнику для первоначальной настройке шаговых весов передается известная информационная последовательность.

На практике часто в качестве обучающей последовательности выбирается периодическая псевдослучайная последовательность, такая как последовательность регистра максимальной длины с периодом , равным длине (памяти) эквалайзера . В этом случае, градиент обычно усредняется по длине последовательности как указанно в (11.1.6), а эквалайзер настраивается на каждом периоде согласно (11.1..17). Практическая схема для непрерывной настройки весов отводов может быть или основана на управлении решениями, когда решения (оценки) по информационным символам предполагаются правильными и используются вместо  при формировании сигнала ошибки , или такая, в которой известная псевдослучайная испытательная последовательность вставляется в информационный сигнал (путём суммирования или перемежения во времени), а веса отводов настраиваются путем сравнения принимаемых испытательных символов с известными переданными сигналами. При использовании операционной модели с управлением решениями сигнал ошибки оказывается равным , где  - это решение приемника, основанное на оценке . До тех пор, пока приёмник работает с малыми вероятностями ошибок, редкие ошибки будут иметь несущественное влияние на сходимость алгоритма.

Если характеристики канала меняются, эти изменения отражаются в коэффициентах  эквивалентной модели канала с дискретным временем. Они также отражаются в сигнале ошибки , поскольку он зависит от . Таким образом, шаговые веса будут меняться согласно (11.1.11), отражая изменения в канале. Простое изменение в шаговых весах возникает, если меняется статистика шума или информационной последовательности. Таким образом, эквалайзер оказывается адаптивным.