11.1.3. Свойство сходимости алгоритма НК

Свойство сходимости алгоритма НК, определяемого (11.1.11), управляется параметром размера шага . Мы теперь рассмотрим выбор параметра  для гарантии сходимости алгоритма кратчайшего спуска (11.1.7), который использует точные значения градиента.

Из (11.1.7) и (11.1.8) имеем

             

где  - единичная матрица,  - автокорреляционная матрица принимаемого сигнала,  -  размерный вектор усиления ячеек эквалайзера, а  - вектор взаимных корреляций определяемый (10.2.45). Рекуррентное отношение (11.1.20) можно представить системой замкнутой петли управления, как показано на рис.11.1.3.

Рис. 11.1.3. Представление рекуррентного уравнения (11.1.20) системой с замкнутой петлей управления

К сожалению, система из  разностных уровней первого порядка в (11.1.20) связана через матрицу автокорреляции . Чтобы решить эти уравнения и, таким образом, установить свойство сходимости рекуррентного алгоритма, математически удобно развязать уравнения путем линейного преобразования. Подходящее преобразование получается, если учесть, что матрица  является эрмитовой с комплексными элементами и, следовательно, её можно представить так:

                                                   

где  - унитарная матрица для  - диагональная матрица с элементами, равными собственными числами матрицы .

Если (11.1.21) подставить в (11.1.20) и если мы определим преобразованные (ортогонализированные) векторы  и , то получим

                              

Система дифференцированных уравнений первого порядка теперь развязана. Их сходимость определяется из однородного уравнения

                                         

Мы видим, что рекуррентное отношение будет сходиться при условии, что все полюса лежат внутри единичной окружности, то есть

         

где  - набор из  (возможно, и не различающихся) собственных значений . Поскольку  автокорреляционная матрица она положительно определенная и, следовательно,  для всех . Следовательно, сходимость рекуррентного отношения (11.1.22) гарантируется, если  удовлетворяет неравенству

                                                 

где  - наибольшее собственное число .

Поскольку наибольшее собственное число положительно определённой матрицы меньше, чем сумма всех собственных чисел матрицы и, следовательно, поскольку сумма собственных чисел матрицы равна её следу, мы имеем следующую простую верхнюю границу для

  

Из (11.1.23) и (11.1.24) мы видим, что быстрая сходимость возникает тогда, когда  мало, то есть когда полюсы далеки от единичной окружности. Но мы можем и не достичь между наибольшим и наименьшим собственными значениями матрицы . Другими словами, даже если мы выбираем  близким к верхней границе, даваемой (11.1.25), скорость сходимости рекуррентного алгоритма НК определяется наименьшим собственным числом . Следовательно, отношение  непосредственно определяет скорость сходимости. Если  велико, что определяет случай, когда частотная характеристика канала имеет глубокие спектральные нули, скорость сходимости алгоритма будет медленной.