11.1.4. Излишек СКО, обусловленный зашумлёнными оценками градиентов

Рекуррентный алгоритм (11.1.11) для настройки коэффициентов в линейном эквалайзере использует несмещенные шумовые оценки вектора градиентов. Шум в этих оценках вызывает флуктуация коэффициентов около их оптимальных значений и, следовательно, ведет к увеличению СКО на выходе эквалайзера. Это означает, что финальное значение СКО равно , где - дисперсия измеренного шума. Слагаемое , обусловленное шумом оценки, было названо Уидроу (1966) излишком среднеквадратичной ошибки.

Суммарное СКО на выходе эквалайзера для некоторого набора коэффициентов можно выразить так

где представляет оптимальные коэффициенты, удовлетворяющие (11.1.6). Это выражение для СКО можно упростить путем линейного ортогонального преобразования, использованного выше для установления сходимости. Результат этого преобразования к (11.1.27) дает

где - ансамбль преобразованных коэффициентов эквалайзеров. Излишком СКО является величина второго слагаемого в (11.1.28), т.е.

Уидроу (1970, 1975) показал, что излишек СКО можно выразить так:

Выражение (11.1.30) можно упростить, если выбрать так, что для всех . Тогда

Заметим, что представляет принимаемый сигнал плюс мощность шума. Желательно иметь . Это значит, что надо выбрать так, чтобы

или, что эквивалентно,

Для примера, если выбрать так:

то уменьшение выходного ОСШ эквалайзера, обусловленное излишком СКО, меньше, чем 1 дБ.

Вышеприведённый анализ излишка среднеквадратичной ошибки базируется на предложении, что среднее значение коэффициентов эквалайзера сходится к оптимальной величине . При этом условии размера шага удовлетворяет границе (11.1.32). С другой стороны, мы определили, что сходимость вектора средних коэффициентов требует, чтобы . В то время как выбор вблизи верхней границы может вести к начальной сходимости детерминированного (известного) градиентного алгоритма крутого спуска, такая большая величина обычно ведёт к нестабильности стохастического градиентного алгоритма НК.

Первоначальная сходимость или переходное поведение НК алгоритма была исследована различными исследователями. Их результаты ясно показывают, что размер шага должен быть уменьшен пропорционально длине эквалайзера, как следует из (11.1.32). Таким образом, верхняя граница, определяемая (11.1.32), также необходима, чтобы гарантировать первоначальную сходимость НК алгоритма. Статья Гитлина и Вайнштейна (1979) и Унгербоека (1972) содержат анализ переходного поведения и свойства сходимости НК алгоритма.

Следующие примеры служат для подкрепления важных положений, высказанных выше, относительно первоначальной сходимости НК алгоритма.

Пример 11.1.1. НК алгоритм был использован для адаптивного выравнивания канала связи, для которого автокорреляционная матрица имеет разброс собственных значений . Число выбранных ячеек эквалайзера . Входной сигнал плюс мощность шума был нормирован к единице. Как следствие, верхняя граница для , определяемая (11.1.32), равна 0,18. Рис.11.1.4 иллюстрирует характеристики первоначальной сходимости НК алгоритма для , и при усреднении оценок СКО по 200 опытам. Мы видим, что при выборе (половина верхней границы) мы получаем относительно медленную сходимость. Если мы разделим на два до скорость сходимости уменьшается, но излишек СКО также уменьшается, так что НК алгоритм работает лучше в стационарном режиме (при инвариантной во времени сигнальной среде). Наконец, мы отметим, что выбор , который ещё остаётся ниже верхней границы, вызывает большие нежелательные флуктуации выходной СКО алгоритма.

Рис. 11.1.4. Характеристика первоначальной сходимости НСК алгоритма при различных размерах шага. [Обработка цифровых сигналов, Дж.Дж.Прокис и Д.Дж.Монолакис, 1988]

При цифровой реализации НК алгоритма выбор параметра шага ячейки оказывается более критичным. В попытке уменьшить излишек СКО возможно уменьшить параметр размера шага ячейки до точки, когда суммарная СКО на самом деле увеличивается. Это условие возникает, когда оцененные градиентные компоненты вектора после умножения на малый параметр шага оказывается меньше, чем половина наименьших значащих бита в фиксированной точке представления коэффициентов эквалайзера. В таком случае, адаптация прекращается. Следовательно, важно, чтобы размер шага ячейки был достаточно большим для того, чтобы удержать коэффициенты эквалайзера в окрестности . Если желательно существенно уменьшить размер шага ячейки, то необходимо увеличить точность коэффициентов используется 16 бит, причем 10-12 наиболее значащих бита используется для арифметических операций по выравниванию сигнала. Оставшиеся наименее значащие биты требуются для обеспечения необходимой точности процесса адаптации. Таким образом, масштабированные оцененные градиентные компоненты обычно влияют только на наименее значащие биты на любой итерации. В действительности, дополнительная точность также позволяет вести усреднение по шуму, поскольку много нарастающих изменений в наименее значимых битах требуется до того, как возникает изменение в верхних более значащих битах, используемых в арифметических операциях для выравнивания данных. Для анализа округленных (случайных) ошибок цифровой реализации НК алгоритма читателю рекомендуются статьи Гитлина и Вайнштейна (1979), Гитлина и др. (1982) и Карайскоса и Лайу (1984).

Наконец, необходимо указать, что НК алгоритм годится и для отслеживания медленных, инвариантных АО времени, статистик сигнала. В таком случае минимум СКО и оптимальный вектор коэффициентов будут переменны во времени. Другими словами является функцией времени и -мерная поверхности ошибок передвигается с временным индексом . НК алгоритм пытается следить за изменением минимума в -мерном пространстве, но он всегда запаздывает по отношению к значениям оцененных вектором градиента. Как следствие, НК алгоритм навлекает на себя другой вид ошибок, называемых ошибками запаздывания, чьи значения средних квадратов уменьшаются с увеличением размера шага ячейки . Суммарное СКО можно теперь выразить так

где означает средний квадрат ошибки, обусловленный запаздыванием. При заданной нестационарной адаптивной задаче выравнивания, если мы построим зависимость ошибок и от , мы ожидает поведения этих ошибок так, как показано на рис.11.1.5. Видим, что увеличивается с ростом , в то время как уменьшается с ростом . Суммарная ошибка имеет минимум, который определяет оптимальный выбор параметра размера шага ячейки.

Когда случайные изменения сигнала во времени происходят быстро, ошибка запаздывания будет определяющей для качества адаптивного эквалайзера. В таком случае даже тогда, когда используется наибольшее возможное значение . Если это условие имеет место, НК алгоритм противопоказан для применения и необходимо для получения более быстрой сходимости и отслеживания рассчитывать на более сложные рекуррентные алгоритмы наименьших квадратов, описываемые в разд. 11.4.

Рис. 11.1.5. Зависимость излишка среднеквадратичной ошибки и ошибки запаздывания от размера шага ячейки. [Обработка цифровых сигналов, Дж.Дж.Прокис и Д.Дж.Манолакис., 1988]