13.2.1. Качество декодера

Обозначим неквантованный выход демодулятора через , . Сначала рассмотрим линейный двоичный  блоковый код и, без потери общности, предположим, что передается кодовое слово из одних нулей.

Декодер, который выполняет детектирование мягких решений, вычисляет корреляционные метрики

    (13.2.9)

где  означает -й символ в -м кодовом слове. Корреляционная метрика, соответствующая кодовому слову из одних нулей, равна

       (13.2.10)

где  - аддитивное шумовое слагаемые, которые искажает-й кодовый символ, а  - энергия чипа. Величина  определяется так:

    (13.2.11)

Аналогично, корреляционная метрика, соответствующая кодовому слову  с весом , равна

   (13.2.12)

Следуя примеру, использованной в разделе 8.1.4, мы можем определить вероятность того, что . Разница между  и  равна

    (13.2.13)

Поскольку кодовое слово  имеет вес  ненулевых компонент при суммировании шумовых слагаемых в (13.2.13). Мы можем предположить, что минимальное расстояние кода достаточно велико, так что мы можем обратиться к центральной предельной теореме при суммировании шумовых компонент. Это предположение имеет силу для широкополосного сигнала ПШ, который имеет показатель расширения спектра 20 или больше. Таким образом, сумма шумовых компонент моделируется гауссовской случайной величиной. Поскольку  и , среднее для второго слагаемого в (13.2.13) также равно нулю. Его дисперсия

     (13.2.14)

Последовательность двоичных символов ПШ предполагается некоррелированной. Следовательно,

                               (13.2.15)

и

                                              (13.2.16)

где  - второй момент любого элемента . Этот момент легко вычислить:

   (13.2.17)

где  - автокорреляционная функция, а  - спектральная плотность мощности интерференции .

Мы видим, что если интерференция имеет одинаковую спектральную плотность внутри полосы частот переданного сигнала, т.е.

                             (13.2.18)

тогда второй момент в (13.2.17)  и, следовательно, дисперсия интерференционного слагаемого в (13.2.16) равна

                                                (13.2.19)

В этом случае вероятность того, что равна

                                  (13.2.20)

Но энергия на кодовый символ  можно выразить чрез энергию информационного символа

                                           (13.2.21)

Представим это в (13.2.20), получаем

      (13.2.22)

где  - ОСШ на информационный бит. Наконец, вероятность ошибки кодового слова можно оценить сверху границей

                              (13.2.23)

где . Заметим, что это выражение идентично вероятности ошибки кодового слова при декодировании мягких решений линейного двоичного блокового кода в канале с АБГШ.

Хотя выше мы рассмотрели двоичный блоковый код описанная процедура аналогична и для  сверточного кода.

Результат такого рассмотрения дает следующую верхнюю границу для эквивалентной вероятности ошибки на бит

                           (13.2.24)

Набор коэффициентов  получается из расширения производных передаточной функции , как описано в разделе (8.2.3).

Далее мы рассмотрим узкополосную интерференцию, концентрированную около несущей (около нуля для эквивалентного низкочастотного сигнала). Мы можем фиксировать суммарную (среднюю) мощности помехи , где  - величина спектральной плотности мощности эквивалентной широкополосной интерференции (сигнал глушения). Узкополосная интерференция характеризуется спектральной плотностью мощности

        (13.2.25)

где

Подстановка (13.2.25) для  в (13.2.17) дает

                           (13.2.26)

Величина  зависит от спектральных характеристик . В следующем примере мы рассмотрим два специальных случая.

Пример 13.2.1. Предположим, что  - прямоугольный импульс, показанный на рис.13.2.3(а), а  - соответствующая спектральная плотность энергии, показанная на рис.13.2.3(b).

Рис. 13.2.3. Прямоугольный импульс и его энергический спектр

Для узкополосной интерференции, определяемой (13.2.26), дисперсия общей интерференции равна

   (13.2.27)

где . Рисунок 13.2.4 иллюстрирует величину этого интеграла для .

Рис. 13.2.4. график зависимости величины интеграла в (13.2.7) от интервала интегрирования

Мы видим, что величина интеграла имеет границу, . Следовательно, .

В пределе, когда  становится нулём, интерференция определяется импульсом на несущей. В этом случае интерференция представляет число гармонический сигнал и она обычно называется гармонической помехой на несущей (ГПН, CW jamming signal). Спектральная плотность мощности равна

                                                             (13.2.8)

и соответствующая дисперсия для величины  равна

               (13.2.29)

Вероятность ошибки кодового слова для ГПН имеет верхнюю границу

                               (13.2.30)

Но . Далее  и . Следовательно, (13.2.30) можно выразить так:

                             (13.2.31)

что является результатом, полученным раньше для широкополосной интерференции. Этот результат говорит о том, что ГПН имеет то же влияние на качество, что и эквивалентный широкополосный меняющий сигнал. Эта эквивалентность обсуждается ниже.

Пример 13.2.2. Определим качество широкополосной системы с ПП в присутствии CW jammer со средней мощностью , когда импульс переданного сигнала  определяется полупериодом синусоиды, как показано на рис.13.2.5, т.е.

                (13.2.32)

Рис. 13.2.5. Синусоидальный сигнальный импульс

Дисперсия интерференции для такого символа

            (13.2.33)

Таким образом, верхняя граница вероятности ошибки кодового слова

                         (13.2.34)

Мы увидим, что качество, получаемое таким импульсом на 0,9 дБ лучше, чем то, которое получено при прямоугольном импульсе. Напомним, что акая огибающая, используемая в офсетной КФМ, ведёт к сигналу ММС. ММС модуляция часто используется в широкополосных системах с ПП.

Выигрыш обработки и помехозащищенности (jamming margin). Интересная интерпретация характеристика качества широкополосного сигнала с ПП можно получить, выражая энергию сигнала на бит  через среднюю мощность. Это значит, что , где  - средняя мощность сигнала и  - символьный интервал. Рассмотрим качество, полученной в присутствии CW-jamming для прямоугольного импульса, обсужденного в примере 13.2.1. Если подставить значения для  и  в (13.2.31), мы получим

    (13.2.35)

где  - число чипов на информационный символ, а  - отношение мощности сигнала к мощности помехи.

Аналогичный результат получен для широкополосного мешающего сигнала, для которого качество даётся (13.2.23). Для энергии сигнала на бит имеем

                                            (13.2.36)

где  - информационная скорость в бит/с. Спектральная плотность мощности для мешающего сигнала можно выразить так:

                                                    (13.2.37)

Используя отношения (13.2.36) и (13.2.37), отношение  можно выразить так

                                (13.2.38)

Отношение  - это отношение средней мощности помехи к средней мощности сигнала, которое обычно больше единицы. Отношение  как раз показатель расширения полосы частот или, что эквивалентно, число чипов на информационный бит. Это отношение обычно называется выигрышем обработки (ВО) широкополосной системы с ПП. Оно представляет преимущество, выигранное относительно помехи, которое получается благодаря расширению полосы частот передаваемого сигнала. Если будем интерпретировать  как ОСШ, требуемое для достижения заданной вероятности ошибки, а  как допустимый показатель расширения полосы частот, соотношение  будет иметь смысл помехозащищённости (запаса по помехе) широкополосной системы с ПП. Другими словами, помехозащищённость – это наибольшая величина, которую может принять отношение , при котором система передачи еще удовлетворяет заданной вероятности ошибки.

Качество декодера мягких решений для линейного двоичного кода , выраженное через выигрыш обработки и помехозащищенность, определяется так:

   (13.2.39)

В дополнение к зависимости от выигрыша обработки  и  мы видим, что качество зависит от третьего множителя, именно . Этот множитель определяет выигрыш кода. Нижняя граница этого множителя равна . Таким образом, помехозащищенность, достигаемая широкополосными сигналами с ПП, зависит от выигрыша обработки и выигрыша кодирования.

Некодированные широкополосные сигналы с ПП. Результаты качества, данные выше для широкополосных сигналов с ПП, генерируемые посредством  кода, могут быть конкретизированы для тривиального кода, именно для двоичного кода с повторением. В этом случае , а вес ненулевого кодового слова . Таким образом, , следовательно, качество двоичной системы сигналов определяется так

                  (13.2.40)

Заметим, что тривиальный код не дает выигрыш кодирования. Он дает выигрыш обработки .

Пример 13.2.3. Предположим, что мы желаем достичь вероятность ошибки  или меньше при помощи широкополосной системы с ПП. Желательный показатель расширения полосы . Определим помехозащищенность.

Требуемая величина  для достижения вероятности ошибки на бит  при помощи некодированной двоичной ФМ равна 10,5 дБ. Выигрыш обработки равен  дБ. Следовательно, максимально допустимое значение отношения мощностей помехи и сигнала, т.е. помехозащищенность, равно

Поскольку эта помехозащищенность достигается для некодированной широкополосной системы с ПП, её можно получить путем кодирования информационной последовательности.

Имеется другой путь для рассмотрения процессов модуляции и демодуляции для некодированной (код с повторением) широкополосной системы с ПП. У модулятора сигнал, генерируемый кодом с повторением, например при прямоугольном импульсе, идентичен прямоугольному импульсу  с идентичной амплитудой длительностью  или его обратному значению, в зависимости от того является ли информационный символ соответственно 1 или 0. Это видно из (13.2.7), где кодовые чипы  внутри информационного символа равны 1 или 0. ПШ последовательность умножается на  или . Так, если информационный символ 1, то  чипов, генерируемых ПШ генератором передаются с той же полярностью. С другой стороны, если информационный символ 0, то чипов при умножении  меняют полярность.

Демодулятор для кода с повторением, реализованный как коррелятор, иллюстрируется на рис.13.2.6.

Рис. 13.2.6. Демодулятор корреляционного типа для кода с повторением

Видим, что интервал интегрирования в интеграторе равен символьному интервалу . Таким образом, декодер для кода с повторением ограничен и его функция реализуется демодулятором.

Теперь качественно оценим процесс демодуляции на интерференцию . Умножение  на выходе ПШ генератора, который выражается так

дает

Сигналы  и  - статистически независимые случайные процессы, каждый с нулевым средним и автокорреляционными функциями  и  соответственно. Произведение  также случайный процесс, имеющий автокорреляцению ионную функцию равную произведению  и . Таким образом, спектральная плотность мощности процесса  равно свертке спектральной плотности мощности процесса  и спектральной плотности мощности процесса .

Эффект свертки спектров сводится к рассеянию мощности по полосе. Поскольку полоса  занимает возможную полосу частот канала , то результат свертки двух спектров сводится к рассеянию спектральной плотности мощности процесса  по полосе частот . Если  - узкополосный процесс, т.е. его спектральная плотность мощности процесса  будет охватывать полос частот равную, по крайней мере, .

Интегратор, использованный для взаимной корреляции и показанный на рис.13.2.6, имеет полосу частот примерно равную . Поскольку , только часть от общей мощности интерференции появится на выходе коррелятора. Эта часть примерно равна отношению полосы  к . То есть,

Другими словами, умножение сигнала интерференции на сигнал от ПШ генератора рассеивания интерференцию по полосы частот сигнала , а узкополосное интегрирование, следующее за умножением, выделяет только  часть от общей интерференции. Таким образом, качество некодированной широкополосной системы с ПП увеличивается на величину выигрыша обработки

Каскадное объединение произвольного линейного кода с двоичным кодом с повторением. Как показано выше, двоичный код с повторением увеличивает помехозащищенность по отношению к мешающему сигналу, но не даёт выигрыша кодирования. Чтобы получить улучшение в качестве, мы можем использовать линейный  блоковый ил свёрточный код, где . Одна возможность заключается в выборе  и к повторению каждого кодового символа  рак так, что . Так мы можем конструировать линейный  код путем каскадного объединения кода  с двоичным кодом  с повторением. Это можно рассматривать как тривиальную форму каскадного кода, где внешний код – это , а внутренний код – это код с повторением.

Поскольку код с повторением не даёт выигрыша кодирования, выигрыш кодирования, достигаемый объединением кодов, должен уменьшаться по величине, достигаемой внешним  кодом. Покажем, что это на самом деле так. Выигрыш кодирования объединенного кода равен

но веса  объединенного кода можно выразить так:

где  - веса внешнего кода. Следовательно, выигрыш кодирования объединенного кода

               (13.2.41)

что как раз равно выигрышу кодирования, получаемого от внешнего кода.

Выигрыш кодирования также достигается, если внешний код  декодирует жёсткие решения. Вероятность ошибки на бит, получаемый с  кодом с повторением (при декодировании мягких решений) равна

   (13.2.42)

Тогда вероятность ошибки кодового слова для линейного  блокового кода имеет верхнюю границу

                         (13.2.43)

где  или

                                (13.2.44)

где последнее отношение определяется границей Чернова. Для  двоичного сверточного кода верхняя граница для вероятности ошибки на бит равна

                                          (13.2.45)

где  определяется (8-2-28) для нечетных  и (8-2-29) для четных .

Каскадное кодирование для широкополосных систем с ПП. Из приведенного выше обсуждения очевидно, что можно достичь улучшения в качестве путем замены кода с повторением более мощным кодом, который даст выигрыш кодирования в дополнение к выигрышу обработки. В принципе, цель широкополосной системы с ПП – создать длинный, низкоскоростной код, имеющий большое минимальное расстояние. Это можно выполнить наилучшим образом, используя каскадное кодирование. Если двоичная ФМ используется в соединении с широкополосной системой с ПП, элементы каскадированных кодовых слов можно выразить в двоичной форме.

Лучшее качество можно получить, когда декодирование мягких решений используется для внутренних и внешних кодов. Однако альтернативно, что обычно ведет к уменьшению сложности для декодера, используется декодирование мягких решений для внутреннего кода и декодирование жестких решений для внешнего кода. Выражение для вероятности ошибки этих схем декодирования зависит частично от типа кодов (блоковых или сверточных), выбираемых для внутреннего и внешнего кодов. Для примера, кодирование двух блоковых кодов можно рассматривать как общий длинный двоичный  блоковый код, имеющий качество, даваемое (13.2.39). Качество других каскадных кодов также можно в принципе проанализировать. Из соображений сложности мы не будем рассматривать такое кодовое каскадирование.