14.1.1. Корреляционная функция канала и спектр мощности

Теперь рассмотрим некоторые используемые корреляционные функции и спектральные плотности мощности, которые определяют характеристики многопутевого канала с замираниями. Нашей исходной точкой является эквивалентная низкочастотная импульсная характеристика , которая характеризуется как комплексный случайный процесс по переменной . Предположим, что процесс  стационарен в широком смысле. Тогда мы определяем автокорреляционную функцию  так:

       (14.1.10)

В большинстве сред, где передается радиосигнал, ослабление и сдвиг фазы в канале, связанные с задержкой в пути  некоррелированы с ослаблением и сдвигом фазы, связанными с задержкой в пути . Это обычно называется некоррелированным рассеянием. Мы сделаем предположение, что рассеяния при двух различных задержках некоррелированы, и учтем это в (14.1.10), чтобы получить

      (14.1.11)

Если возьмем , результирующая автокорреляционная функция  - это просто средняя мощность выхода канала как функция от задержки во времени . Из этих соображений  называют интенсивностью многопутевого профиля или спектром мощности задержек канала. В общем  определяет среднюю мощность выхода канала как функцию от времени задержки  и разницы моментов наблюдения . На практике функция  измеряется путем передачи по каналу очень, короткого импульса и вычислением взаимной корреляции принимаемого сигнала со своей собственной запаздывающей копией. Можно ожидать, что измеренная функция  имеет типичный вид, показанный на рис. 14.1.2. Область значений, в которой  существенно больше нуля, называют многопутевым рассеянием канона и обозначают .

Рис. 14.1.2. Профиль многопутевой интенсивности

Полную характеристику многопутевого переменного во времени канала можно определить и в частотной области. Взяв преобразование Фурье от , мы получаем переменную во времени передаточную функцию , где  - частотная переменная. Итак,

                     (14.1.12)

В предположении, что канал стационарен в широком смысле, мы определим автокорреляционную функцию

          (14.1.13)

Поскольку  является преобразованием Фурье от , то не является неожиданностью, что  связано с  преобразованием Фурье. Это соотношение легко получить подстановкой (14.1.12) в (14.1.13)

    (14.1.14)

где . Из (14.1.14) мы видим, что  является преобразованием Фурье от многопутевой интенсивности профиля. Далее, из предположения, что рассеяние некоррелировано (по отдельным путям) следует, что автокорреляционная функция от  по частоте зависит только от разности частот . Следовательно, подобает называть  совместной корреляционной функцией канала в частотной и временной области. На практике ее можно измерить путем передачи по каналу двух синусоид с частотным разносом  и измерением взаимной корреляции двух отдельно принимаемых сигналов с временной задержкой между ними .

Предположим, что возьмём в (14.1.14) . Тогда, , и , связь между ними упрощается:

                       (14.1.15)

Это соотношение отображено графически на рис.14.1.3.

Рис. 14.1.3. Соотношение между  и

Поскольку  является автокорреляционной функцией по частотной переменной, она обеспечивает нам возможность измерить частотную когерентность канала. Как следствие преобразования Фурье между  и , обратная величина многопутевого рассеяния является мерой частотной когерентности канала.

Это значит, что

,                           (14.1.16)

где  означает полосу частотной когерентности. Таким образом, две синусоиды с частотным разносом, большим , ведут себя различно в канале. Если  мало по сравнению с полосой частот переданного сигнала, канал называют частотно селективным. В этом случае сигнал существенно искажается в канале. С другой стороны, если  велика по сравнению с полосой частот переданного сигнала, канал называют частотно неселективным.

Теперь сосредоточим наше внимание на изменении канала во времени, измеряемом параметром  в . Изменения во времени характеристик канала свидетельствуют о доплеровском рассеянии и, возможно, также о сдвиге спектральных линий. Чтобы выявить связь эффекта Доплера и изменений во времени канала, определим преобразование Фурье от  по переменной , чтобы получить функцию . Т.е.

                      (14.1.17)

При   и из (14.1.17) следует

                     (14.1.18)

Функция  определяет спектр мощности и дает интенсивность сигнала как функцию от частоты Доплера . Поэтому  называют доплеровский спектром мощности канала.

Из (14.1.18) мы видим, что если канал не меняется во времени, , и функция  становится равной . Следовательно, когда нет изменений канала во времени, не наблюдается спектральное расширение при передаче чистого тона.

Область значений , в которой  существенно отлично от нуля, называют доплеровский рассеянием в канале . Поскольку  связано с  преобразованием Фурье, обратная величина  является мерой временной когерентности канала, т.е.

                                                   (14.1.19)

где  называют временем когерентности. Ясно, что канал с медленными изменениями имеет большую временную когерентность или, что эквивалентно, малое Доплеровское рассеяние. Рис.14.1.4 иллюстрирует соотношение между и  

Теперь мы установим соотношение Фурье между  и , включающих переменные , и между и , включающих переменные . Имеются два дополнительных преобразований Фурье, которые мы можем найти и которые служат для связи  и , и таким образом замыкается цепь. Требуемое отношение можно получить, определив новую функцию, обозначаемую , как преобразование Фурье  по переменной , т.е.

              (14.1.20)

Отсюда следует, что  и  являются парой преобразований Фурье. То есть

                       (14.1.21)

Рис. 14.1.4. Соотношение между || и

Далее,  и  связаны двойным преобразованием Фурье

     (14.1.22)

Эту новую функцию  называют функцией рассеяния канала. Она определяет меру средней мощности на выходе канала, как функцию времени задержки  и доплеровской частоты .

Соотношения между четырьмя функциями , ,  и  подытожены рисунком 14.1.5.

Функция рассеяния , измеренная на тропосферной линии рассеяния протяженностью 150 миль, показана на рис. 14.1.6. Сигнал, использованный для зондирования канала, имеет разрешение во времени 0,1 мкс. Поэтому ось для времени запаздывания проквантована с шагом 0,1 мкс. Из рисунка мы видим, что многопутевое рассеяние равно  мкс. С другой стороны, Доплеровское рассеяние, которое можно определить как полосу спектра мощности для каждого пути сигнала на уровне 3 дБ, оказывается переменной для каждого сигнального пути. Для примера, в одном пути оно меньше 1 Гц в то время как в некоторых других путях оно составляет несколько герц. Для наших целей мы возьмем наибольшее рассеяние по различным путям на уровне 3 дБ и назовем ее доплеровский рассеянием.