14.6.1. Вероятность ошибки при декодировании мягких решений и использовании двоичного блокового кода

Рассмотрим декодирование линейного двоичного  кода при передаче по каналу с релеевскими замираниями, как описано выше. Оптимальный декодер мягких решений, основанный на правиле максимально правдоподобия, формирует  величин для решения

,  ,  (14.6.1)

где ,  и  представляют квадраты огибающих выходов  фильтров, которые настроены на  возможных переданных частот. Решение делается в пользу кодового слова, которому соответствует максимальное значение величины решения из набора .

Наша цель в этом разделе сводится к определению вероятности ошибки декодера мягких решений. Для этого предположим, что передаётся кодовое слово , из одних нулей. Среднее принимаемое отношение сигнала/шум на частоту (на ячейку) обозначим . Суммарные принимаемые ОСШ для  частот равно  и, следовательно, среднее ОСШ на бит

                                  (14.6.2)

где  - скорость кода.

Величина для решения , соответствующая кодовому слову , определяется (14.6.1) при  для всех . Вероятность того, что решение принято в пользу -го кодового слова равно

          (14.6.3)

где  - вес -го кодового слова. Но вероятность (14.6.3) как раз вероятность ошибки при квадратичном сложении двоичных ортогональных сигналов ЧМ с порядком разнесения . Это значит

                   (14.6.4)

            (14.6.5)

где

.                            (14.6.6)

Альтернативно мы можем использовать верхнюю границу Чернова, полученную в разделе 14.4, которые можно представить здесь так

                           (14.6.7)

Сумма двоичных событий по всем  кодовым словам с ненулевым весом даёт верхнюю границу вероятности ошибки. Итак,

                                     (14.6.8)

Поскольку минимальное расстояние линейного кода равно минимальному весу то следует

Использование этих отношений вместе с (14.6.5) и (14.6.8) даёт простую, … свободную, верхнюю границу, которую можно выразить в виде

                                 (14.6.9)

Эта простая граница указывает на то, что кодирование обеспечивает эффективный порядок разнесения, равный . Ещё более простой является верхняя объединённая граница

,                    (14.6.10)

которая получается из границы Чернова, данной (14.6.7).

В качестве примера, иллюстрирующего выгоду кодирования в релеевском канале с замираниями, мы привели на рис. 14.6.2 кривые вероятности ошибки, полученные посредством расширенного кода Голея (24,12) и двоичной ЧМ и четверичной ЧМ с двойным разнесением.

Поскольку расширенный код Голея требует в целом 48 ячеек и , показатель расширения полосы . Это также показатель расширения полосы для двоичной и четверичной ЧМ с . Следовательно, три типа сигналов сравниваются при одинаковом показателе расширения полосы частот. Заметим, что при  код Голея превосходит четверичную ЧМ больше чем на 6 дБ, а при  разница, примерно, 10 дБ.

Объяснение высокого качества кода Голея – его большое минимальное расстояние , которое переводится в эквивалентное разнесение восьмого порядка. В противоположность этому двоичные и четверичные сигналы ЧМ имеют только разнесение второго порядка. Итак, код Голея более эффективно использует предоставляемую полосу частот канала. Цену, которую мы должны заплатить за высокое качества кода – увеличение сложности декодирования.