4.1.3. Отклик полосовой системы на полосовой сигнал

В разд. 4.1.1 и 4.1.2 мы показали, что узкополосные полосовые сигналы и системы могут быть представлены эквивалентными низкочастотными сигналами и системами. В этом разделе покажем, что выход полосовой системы на полосовой входной сигнал можно часто получить из эквивалентного низкочастотного входа сигнала и эквивалентной низкочастотной импульсной характеристики системы.

Предположим, что  - узкополосный полосовой сигнал, a  эквивалентный низкочастотный сигнал. Этот сигнал поступает на узкополосную полосовую систему, определяемую своей полосовой импульсной характеристикой  или эквивалентной низкочастотной импульсной характеристикой (ИХ) . Выход полосовой системы также является полосовым сигналом, и, следовательно, его можно выразить в виде

,                                                       (4.1.30)

где  связан со входным сигналом  и ИХ системы  интегралом свертки

.                                                   (4.1.31)

Эквивалентно выход системы, представленной в частотной области, равен

.                                                            (4.1.32)

С учетом (4.1.21) для  и (4.1.28) для  получаем результат

.     (4.1.33)

Когда  является узкополосным сигналом, а  - импульсной характеристикой узкополосной системы, то  и  для . Отсюда следует

, .

Следовательно, (4.1.33) упрощается:

     (4.1.34)

где

                                                (4.1.35)

- спектр выхода эквивалентной низкочастотной системы, возбуждаемой эквивалентным низкочастотным сигналом. Ясно, что во временной области выход  определяется сверткой  и , т.е.

.                                    (4.1.36)

Комбинация (4.1.36) и (4.1.30) дает отношение между выходом полосовой системы  и эквивалентными низкочастотными функциями  и . Это простое отношение позволяет нам не учитывать произвольные линейные преобразования частот, которые встречаются при модуляции сигнала с целью смещения его спектра в частотной области конкретного канала.

Следовательно, для математического удобства будем иметь дело только с передачей эквивалентных низкочастотных сигналов через эквивалентные низкочастотные каналы.