4.1.4. Представление полосовых случайных процессов

Представление полосовых сигналов в разд. 4.1.1 касается детерминированных сигналов. В этом разделе рассмотрим представление полосовых стационарных случайных процессов. В частности, получим важные отношения между корреляционной функцией и спектральной плотностью мощности полосового сигнала и корреляционной функцией и спектральной плотностью мощности эквивалентного низкочастотного сигнала.

Предположим, что  является реализацией стационарного в широком смысле случайного процесса  с нулевым средним и спектральной плотностью мощности . Примем, что спектральная плотность мощности равна нулю вне интервала частот, группирующихся около частот , где  частота несущей. Случайный процесс  называется узкополосным полосовым случайным процессом, если ширина его полосы частот  намного меньше . С учетом этого условия реализация процесса  может быть представлена в одной из трех форм, данных в разд. 4.1.1, а именно

,                                (4.1.37)

,                     (4.1.38)

,                                           (4.1.39)

где  - огибающая, a  - фаза вещественного сигнала,  и  - квадратурные компоненты , a  - комплексная огибающая для .

Рассмотрим более подробно форму, определяемую (4.1.38). Сначала заметим, что если  имеет нулевое среднее, то случайные квадратурные компоненты  и  должны также иметь нулевые средние. Далее, стационарность  подразумевает, что автокорреляционные и взаимокорреляционные функции  и  обладают следующими свойствами:

,                                                                    (4.1.40)

.                                                                 (4.1.41)

Покажем, что эти два свойства следуют из стационарности . Автокорреляционная функция  для  равна

                        (4.1.42)

Используя соотношения

,                                   

,                                     

                           (4.1.43)

в (4.1.42), получаем результат

  (4.1.44)

Поскольку  - стационарный процесс, то правая часть (4.1.44) не должна зависеть от . Но это условие может быть выполнено только при условии выполнения (4.1.40) и (4.1.41). Как следствие, (4.1.44) сводится к

.                                  (4.1.45)

Заметим, что соотношение между автокорреляционной функцией  полосового процесса и корреляционной и взаимокорреляционной функциями  и  квадратурных компонент имеет форму (4.1.38), которая выражает полосовой процесс через квадратурные компоненты.

Автокорреляционная функция эквивалентного случайного низкочастотного процесса

                                                             (4.1.46)

определяется как

.                                             (4.1.47)

Подставив (4.1.46) в (4.1.47) и выполнив соответствующие операции, получаем

.               (4.1.48)

Теперь, если выполняются свойства (4.1.40) и (4.1.41), находим соотношение

,                                                    (4.1.49)

которое выражает автокорреляционную функцию комплексной огибающей через автокорреляционную и взаимокорреляционную функцию квадратурных компонент. В заключение, используя результаты (4.1.49) и (4.1.45), имеем

.                                                           (4.1.50)

Таким образом, автокорреляционная функция  полосового случайного процесса  однозначно определяется автокорреляционной функцией  эквивалентного низкочастотного случайного процесса  и частоты несущей . Спектральная плотность мощности  случайного процесса  определяется преобразованием Фурье . Имеем

,            (4.1.51)

где  - спектральная плотность мощности эквивалентного низкочастотного процесса . Поскольку автокорреляционная функция  удовлетворяет условию , то следует, что  является вещественной функцией частоты.

Свойства квадратурных компонент. Выше было показано, что взаимокорреляционная функция квадратурных компонент  и  полосового стационарного случайного процесса  удовлетворяет условию симметрии (4.1.41). Далее, любая взаимокорреляционная функция удовлетворяет условию

.                                                                 (4.1.52)

Из этих двух условий заключаем, что

.                                                               (4.1.53)

Это означает, что  является нечётной функцией . Следовательно,  и, значит,  и  не коррелированы при . Конечно, это не означает, что процессы  и  не коррелированы для всех , поскольку это бы означало, что  для всех . Если в самом деле  для всех , то  является вещественной, и спектральная плотность мощности  удовлетворяет условию

,                                                             (4.1.54)

и наоборот. Это означает, что  симметрична относительно  (четная функция частоты). В частном случае, когда стационарный случайный процесс  гауссовский, квадратурные компоненты  и  совместно гауссовские. Более того, при  они статистически независимы, и, следовательно, их совместная плотность вероятности

,                                                           (4.1.55)

где дисперсия  определяется как .

Представление белого шума. Белый шум является случайным процессом, который имеет постоянную спектральную плотность в неограниченном диапазоне частот. Этот вид шума не может быть выражен через узкополосные квадратурные компоненты вследствие широкополосности процесса.

В вопросах, связанных с демодуляцией узкополосных сигналов на фоне шумов, математически удобно представить аддитивный шум как белый и выразить его через квадратурные компоненты. Это можно выполнить, предполагая, что сигнал и шум на приёмной стороне прошли через идеальный полосовой фильтр, имеющий полосу пропускания более широкую, чем полоса сигнала. Такой фильтр может внести пренебрежимо малые искажения в сигнал, но он исключает частотные компоненты шума вне полосы пропускания фильтра.

Белый шум, прошедший через идеальный полосовой фильтр, называют полосовым белым шумом, и он имеет спектральную плотность вида, показанного на рис. 4.1.3. Полосовой белый шум можно представить в любой из форм, выражаемых формулами (4.1.37), (4.1.38) и (4.1.39). Спектральная плотность мощности и автокорреляционная функция эквивалентного белого низкочастотного шума равны соответственно

                                                (4.1.56)

.                                                            (4.1.57)

Предельная форма , когда полоса частот , выражается так:

.                                                                  (4.1.58)

Рис. 4.1.3. Полосовой шум с равномерным спектром

Спектральная плотность мощности белого и полосового белого шума симметрична относительно , так что  для всех . Следовательно,

.                                                     (4.1.59)

Это означает, что квадратурные компоненты  и  не коррелированы при всех временных сдвигах , а автокорреляционные функции ,  и  одинаковы.