4.2. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИГНАЛОВ

В этом разделе мы продемонстрируем, что сигналы имеют характеристики, которые похожи на векторы, и приведем векторное представление сигналов. Начнём с некоторых базовых определений и концепций для векторов.

4.2.1. Концепция векторного пространства

Вектор  в -мерном пространстве характеризуется своими  компонентами . Его можно также представить как линейную комбинацию единичных векторов или базисных векторов , , т.е.

,                                                                            (4.2.1)

где, по определению, единичный вектор имеет единичную длину, а  является проекцией вектора  на единичный вектор .

Скалярное произведение двух -мерных векторов  и  определяется как

.                                                        (4.2.2)

Два вектора  и  ортогональны, если . В более общем виде совокупность  векторов , , ортогональна, если

                                                                   (4.2.3)

для всех  и .

Норма вектора  обозначается  и определяется

.                                             (4.2.4)

Это просто длина вектора. Ансамбль векторов называется ортонормированным, если все векторы ортогональны и каждый вектор имеет единичную норму. Совокупность  векторов называется линейно независимой, если ни один вектор не может быть представлен как линейная комбинация оставшихся векторов.

Два -мерных вектора  и  удовлетворяют неравенству треугольника

.                                                  (4.2.5)

а равенство имеет место, если  и  имеют одинаковое направление, т.е. , где  является положительным вещественным скаляром. Из неравенства треугольника следует неравенство Коши-Шварца

.                                                       (4.2.6)

с равенством, если . Квадрат нормы суммы двух векторов можно выразить так:

.                              (4.2.7)

Если  и  ортогональны, тогда  и, следовательно,

.                                            (4.2.8)

Это соотношение Пифагора для двух ортогональных -мерных векторов. Напомним из алгебры матриц, что линейное преобразование в -мерном векторном пространстве является матричным преобразованием вида

,                                                                     (4.2.9)

где матрица  преобразует вектор  в некоторый вектор . В специальном случае, когда , т.е.

.                                                                    (4.2.10)

где  - некоторый (положительный или отрицательный) скаляр, вектор  называется собственным вектором преобразования, а  является соответствующим собственным значением.

В конце рассмотрим процедуру Грама-Шмидта для образования ансамбля оргонормироваииых векторов из ряда -мерных векторов , . Мы начинаем выбором произвольного вектора ряда, скажем . Путем нормировки его длины получаем первый вектор ансамбля

.                                                                    (4.2.11)

Затем можем выбрать  и получить проекцию  и. Образуем вектор

.                                                   (4.2.12)

Далее нормируем вектор  к единичной длине. Это даёт

.                                                                  (4.2.13)

Процедура продолжается выбором вектора , и образованием проекции  на . Таким образом получаем

.                                    (4.2.14)

Затем образуется ортогональный вектор :

.                                                                   (4.2.15)

Продолжая эту процедуру, можем образовать ансамбль из  ортонормированных векторов, где в общем . Если , то , а если , то .