4.2.3. Ортогональное разложение сигналов

В этом разделе мы ознакомимся с векторным представлением сигналов и. таким образом продемонстрируем эквивалентность между сигналами и их векторными представлениями.

Предположим, что является детерминированным вещественным сигналом с ограниченной энергией

. (4.2.20)

Далее, предположим, что существует ансамбль функций , который ортонормирован в том смысле, что

(4.2.21)

Мы можем аппроксимировать сигнал при помощи взвешенной линейной комбинации этих функций, т.е.

, (4.2.22)

где - коэффициенты в аппроксимации . Ошибка аппроксимации

. (4.2.23)

Выберем коэффициенты так, чтобы минимизировать энергию ошибки аппроксимации. Имеем

. (4.2.24)

Оптимальные коэффициенты в представлении рядом можно найти путём дифференцирования (4.2.24) по каждому из коэффициентов и приравнять первые производные нулю. В качестве альтернативы можем использовать хорошо известный результат из теории оценок, основанный на критерии минимума среднего квадрата ошибки оценивания, который гласит, что минимум по достигается тогда, когда ошибка ортогональна к каждой из функций ряда, т.е.

, . (4.2.25)

Поскольку функции ортонормированы, из 4.2.25 следует

, . (4.2.26)

Таким образом, коэффициенты получаются как проекции сигнала на каждую из функций . Как следствие, является проекцией в -мерном пространстве сигналов, заданном функциями . Иногда говорят, что пространство натянуто на функции . Минимальное значение среднего квадрата, ошибки аппроксимации равно

, (4.2.27)

и оно не отрицательно по определению.

Когда средний квадрат ошибки , то

. (4.2.27)

При условии, что , сигнал можно выразить так:

. (4.2.28)

Равенство правой части (4.2.20) понимается в том смысле, что ошибка представления имеет нулевую энергию.

Если каждый сигнал с ограниченной энергией можно представить рядом (4.2.29) при , совокупность ортонормированных функций называют полной.

Пример 4.2.1. Тригонометрический ряд Фурье. Сигнал с ограниченной энергией, который равен нулю везде, кроме области , и имеет ограниченное число разрывов на этом интервале, может быть представлен рядом Фурье:

, (4.2.30)

где коэффициенты , которые минимизируют средний квадрат ошибки, определяются выражениями

. (4.2.31)

Ансамбль ортонормированных тригонометрических функций

является полным, и, следовательно, ряд (4.2.30) обеспечивает нулевой средний квадрат ошибки. Эти свойства легко устанавливаются из проведённого выше рассмотрения.

Процедура Грама-Шмидта. Теперь предположим, что мы имеем ансамбль сигналов с ограниченной энергией , и хотим сконструировать ансамбль ортонормированных сигналов. Процедура ортонормирования Грама-Шмидта позволяет нам сконструировать такой ансамбль. Начнем с первого сигнала , причём предполагается, что он имеет энергию . Первый сигнал ортонормированного ансамбля конструируется легко:

. (4.2.32)

Таким образом, сигнал имеет форму но нормирован к единичной энергии. Второй сигнал конструируется из , причём сначала вычисляется проекция на :

. (4.2.33)

Затем вычитается из для получения

. (4.2.34)

Этот сигнал ортогонален , но не имеет единичной энергии. Если означает энергию для , то нормированный сигнал, который ортогонален к , равен

. (4.2.35)

В общем, ортогонализация -й функции ведёт к

, (4.2.36)

где

(4.2.37)

, . (4.2.38)

Таким образом, процесс ортогонализации продолжается, пока все сигналов не исчерпаны и не образованы ортонормированных сигналов. Размерность -сигнального пространства равна , если исходные сигналы ансамбля линейно независимы, т.е. ни один из сигналов не является линейной комбинацией других сигналов.

Пример 4.2.2. Применим процедуру Грама-Шмидта к ансамблю четырёх сигналов, показанных на рис. 4.2.1(a). Сигнал имеет энергию , так что . Далее мы видим, что ; следовательно, и ортогональны. Как следствие, . Чтобы получить , вычислим и , которые равны и .

Таким образом,

Поскольку имеет единичную энергию, то следует, что . Для определения находим, что , и . Поэтому

Как следствие, является линейной комбинацией и и поэтому .

Три ортонормированные функции показаны на рис. 4.2.1(b).

Рис. 4.2.1. Ортогонализация Грамма-Шмидта для сигналов (а) и соответствующие ортогональные сигналы (b)

Поскольку мы сконструировали ансамбль ортонормированных сигналов , можем выразить сигналов как линейную комбинацию от .

Таким образом, можно написать

Рис. 4.2.1. Ортогонализация Грама-Шмидта для сигналов (a) и соответствует ортогональные сигналы (b)

, (4.2.39)

. (4.2.40)

Основываясь на выражении (4.2.39), каждый сигнал можно представить вектором

, (4.2.41)

или, что эквивалентно, точкой в -мерном пространстве сигналов с координатами . Энергия -го сигнала равна квадрату длины вектора или, что эквивалентно, квадрату евклидова расстояния от начала координат к точке -мерного пространства. Таким образом, любой сигнал можно представить геометрически как точку в пространстве сигналов, заданном ортонормированными функциями.

Пример 4.2.3. Получим векторное представление четырех сигналов, показанных на рис. 4.2.1(a), используя ортонормальный ансамбль функций из рис. 4.2.1(b).

Поскольку размерность пространства сигналов , каждый сигнал описывается тремя компонентами. Сигнал характеризуется вектором . Аналогично сигналы характеризуются соответственно векторами , , . Эти векторы показаны на рис. 4.2.2. Их длины равны , , , , а соответствующие энергии сигналов , .

Рис. 4.2.2. Четыре сигнальных вектора, представленных в виде точек в трехмерном функциональном пространстве

Мы показали, что ансамбль сигналов с ограниченной энергией можно представить взвешенной линейной комбинацией ортонормированных функций размерностью . Функции получены применением процедуры ортонормализации Грама-Шмидта из . Следует подчеркнуть, что функции , полученные преобразованием Грама-Шмидта, не являются уникальными (единственными). Если мы изменим порядок формирования ортонормированных сигналов из , получим другой ортонормированный ансамбль и соответствующее векторное представление сигналов будет зависеть от выбора ортонормальных функций . Все же, вектора будут сохранять геометрическую конфигурацию и их длины будут инвариантны по отношению к выбору ортонормированных функций .

Пример 4.2.4. Альтернативный ансамбль ортонормированных функций для четырёх сигналов из рис. 4.2.1 показан на рис. 4.2.3(д).

Рис. 4.2.3. Альтернативный ансамбль ортонормированных функций для четырех сигналов рис. 4.2.1 (а) и соответствующие сигнальные точки (b)

Используя эти функции для представления , получаем соответствующие векторы , , , , которые показаны на рис. 4.2.3(b). Заметим, что длины векторов идентичны тем, которые получены из прежних ортонормированных функций .

Ортогональные представления, описанные выше, были разработаны для вещественных сигналов. Рассмотрение комплексных сигналов оставлено как упражнение для читателей (см. задачи 4.6 и 4.7).

В заключение рассмотрим случай, когда сигнал является полосовым и представлен в виде

, (4.2.42)

где - эквивалентные низкочастотные сигналы. Напомним, что энергии сигналов можно выразить через или так:

. (4.2.43)

Похожесть между сигналами любой пары, например и , измеряется коэффициентом взаимной корреляции

. (4.2.44)

Определим комплексный коэффициент взаимной корреляции так:

. (4.2.45)

Тогда

, (4.2.46)

или, что эквивалентно,

. (4.2.47)

Коэффициенты взаимной корреляции между парами сигналов или сигнальных векторов определяют совокупность параметров, характеризующих похожесть ансамбля сигналов. Другой родственный параметр - расстояние Евклида между парой сигналов - определяется так:

. (4.2.48)

Когда для всех и , это выражение упрощается:

. (4.2.49)

Итак, расстояние Евклида является альтернативной мерой похожести (или несходства) совокупности сигналов или соответствующих сигнальных векторов.

В следующем разделе мы опишем сигналы цифровой модуляции и используем пространство сигналов для их представления. Можно заметить, что сигналы цифровой модуляции удобно представить через две ортонормированные базисные функции вида

(4.2.50)

Если выразить как , то следует, что в (4.2.42) можно выразить так:

, (4.2.51)

где и представляют модулирующие сигналы.