Читать в оригинале

<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>


4.2.3. Ортогональное разложение сигналов

В этом разделе мы ознакомимся с векторным представлением сигналов и. таким образом продемонстрируем эквивалентность между сигналами и их векторными представлениями.

Предположим, что  является детерминированным вещественным сигналом с ограниченной энергией

.                                                        (4.2.20)

Далее, предположим, что существует ансамбль функций , который ортонормирован в том смысле, что

                                        (4.2.21)

Мы можем аппроксимировать сигнал  при помощи взвешенной линейной комбинации этих функций, т.е.

,                                                                 (4.2.22)

где  - коэффициенты в аппроксимации . Ошибка аппроксимации

.                                                                 (4.2.23)

Выберем коэффициенты  так, чтобы минимизировать энергию  ошибки аппроксимации. Имеем

.       (4.2.24)

Оптимальные коэффициенты  в представлении  рядом можно найти путём дифференцирования (4.2.24) по каждому из коэффициентов и приравнять первые производные нулю. В качестве альтернативы можем использовать хорошо известный результат из теории оценок, основанный на критерии минимума среднего квадрата ошибки оценивания, который гласит, что минимум  по  достигается тогда, когда ошибка ортогональна к каждой из функций ряда, т.е.

.             (4.2.25)

Поскольку функции  ортонормированы, из 4.2.25 следует

.                                               (4.2.26)

Таким образом, коэффициенты получаются как проекции сигнала  на каждую из функций . Как следствие,  является проекцией  в -мерном пространстве сигналов, заданном функциями . Иногда говорят, что пространство натянуто на функции . Минимальное значение среднего квадрата, ошибки аппроксимации равно

,           (4.2.27)

и оно не отрицательно по определению.

Когда средний квадрат ошибки , то

.                                                           (4.2.27)

При условии, что , сигнал  можно выразить так:

.                                                                 (4.2.28)

Равенство  правой части (4.2.20) понимается в том смысле, что ошибка представления имеет нулевую энергию.

Если каждый сигнал с ограниченной энергией можно представить рядом (4.2.29) при , совокупность ортонормированных функций  называют полной.

Пример 4.2.1. Тригонометрический ряд Фурье. Сигнал  с ограниченной энергией, который равен нулю везде, кроме области , и имеет ограниченное число разрывов на этом интервале, может быть представлен рядом Фурье:

,                     (4.2.30)

где коэффициенты , которые минимизируют средний квадрат ошибки, определяются выражениями

,                                               

.                                      (4.2.31)

Ансамбль ортонормированных тригонометрических функций

является полным, и, следовательно, ряд (4.2.30) обеспечивает нулевой средний квадрат ошибки. Эти свойства легко устанавливаются из проведённого выше рассмотрения.

Процедура Грама-Шмидта. Теперь предположим, что мы имеем ансамбль сигналов с ограниченной энергией , и хотим сконструировать ансамбль ортонормированных сигналов. Процедура ортонормирования Грама-Шмидта позволяет нам сконструировать такой ансамбль. Начнем с первого сигнала , причём предполагается, что он имеет энергию . Первый сигнал ортонормированного ансамбля конструируется легко:

.                                                                       (4.2.32)

Таким образом, сигнал  имеет форму  но нормирован к единичной энергии. Второй сигнал конструируется из , причём сначала вычисляется проекция  на :

.                                                          (4.2.33)

Затем  вычитается из  для получения

.                                                        (4.2.34)

Этот сигнал ортогонален , но не имеет единичной энергии. Если  означает энергию для , то нормированный сигнал, который ортогонален к , равен

.                                                                      (4.2.35)

В общем, ортогонализация -й функции ведёт к

,                                                                      (4.2.36)

где

                                                    (4.2.37)

и

,          .                      (4.2.38)

Таким образом, процесс ортогонализации продолжается, пока все  сигналов не исчерпаны и не образованы  ортонормированных сигналов. Размерность -сигнального пространства равна , если исходные сигналы ансамбля линейно независимы, т.е. ни один из сигналов не является линейной комбинацией других сигналов.

Пример 4.2.2. Применим процедуру Грама-Шмидта к ансамблю четырёх сигналов, показанных на рис. 4.2.1(a). Сигнал  имеет энергию , так что . Далее мы видим, что ; следовательно,  и  ортогональны. Как следствие, . Чтобы получить , вычислим  и , которые равны  и .

Таким образом,

Поскольку  имеет единичную энергию, то следует, что . Для определения  находим, что ,  и . Поэтому

.

Как следствие,  является линейной комбинацией  и  и поэтому .

Три ортонормированные функции показаны на рис. 4.2.1(b).

Рис. 4.2.1. Ортогонализация Грамма-Шмидта для сигналов  (а) и соответствующие ортогональные сигналы (b)

Поскольку мы сконструировали ансамбль ортонормированных сигналов , можем выразить  сигналов  как линейную комбинацию от .

Таким образом, можно написать

Рис. 4.2.1. Ортогонализация Грама-Шмидта для сигналов  (a) и соответствует ортогональные сигналы (b)

,                       (4.2.39)

и

.              (4.2.40)

Основываясь на выражении (4.2.39), каждый сигнал можно представить вектором

,                  (4.2.41)

или, что эквивалентно, точкой в -мерном пространстве сигналов с координатами . Энергия -го сигнала равна квадрату длины вектора или, что эквивалентно, квадрату евклидова расстояния от начала координат к точке -мерного пространства. Таким образом, любой сигнал можно представить геометрически как точку в пространстве сигналов, заданном ортонормированными функциями.

Пример 4.2.3. Получим векторное представление четырех сигналов, показанных на рис. 4.2.1(a), используя ортонормальный ансамбль функций из рис. 4.2.1(b).

Поскольку размерность пространства сигналов , каждый сигнал описывается тремя компонентами. Сигнал  характеризуется вектором . Аналогично сигналы  характеризуются соответственно векторами , , . Эти векторы показаны на рис. 4.2.2. Их длины равны , , , , а соответствующие энергии сигналов , .

145.jpg

Рис. 4.2.2. Четыре сигнальных вектора, представленных в виде точек в трехмерном функциональном пространстве

Мы показали, что ансамбль  сигналов с ограниченной энергией можно представить взвешенной линейной комбинацией ортонормированных функций  размерностью . Функции  получены применением процедуры ортонормализации Грама-Шмидта из . Следует подчеркнуть, что функции , полученные преобразованием Грама-Шмидта, не являются уникальными (единственными). Если мы изменим порядок формирования ортонормированных сигналов из , получим другой ортонормированный ансамбль и соответствующее векторное представление сигналов  будет зависеть от выбора ортонормальных функций . Все же, вектора  будут сохранять геометрическую конфигурацию и их длины будут инвариантны по отношению к выбору ортонормированных функций .

Пример 4.2.4. Альтернативный ансамбль ортонормированных функций для четырёх сигналов из рис. 4.2.1 показан на рис. 4.2.3(д).

146.jpg

Рис. 4.2.3. Альтернативный ансамбль ортонормированных функций для четырех сигналов рис. 4.2.1 (а) и соответствующие сигнальные точки (b)

Используя эти функции для представления , получаем соответствующие векторы , , , , которые показаны на рис. 4.2.3(b). Заметим, что длины векторов идентичны тем, которые получены из прежних ортонормированных функций .

Ортогональные представления, описанные выше, были разработаны для вещественных сигналов. Рассмотрение комплексных сигналов оставлено как упражнение для читателей (см. задачи 4.6 и 4.7).

В заключение рассмотрим случай, когда сигнал является полосовым и представлен в виде

,                      (4.2.42)

где  - эквивалентные низкочастотные сигналы. Напомним, что энергии сигналов можно выразить через  или  так:

.                  (4.2.43)

Похожесть между сигналами любой пары, например  и , измеряется коэффициентом взаимной корреляции

.                        (4.2.44)

Определим комплексный коэффициент взаимной корреляции  так:

.                 (4.2.45)

Тогда

,            (4.2.46)

или, что эквивалентно,

.                     (4.2.47)

Коэффициенты взаимной корреляции между парами сигналов или сигнальных векторов определяют совокупность параметров, характеризующих похожесть ансамбля сигналов. Другой родственный параметр - расстояние Евклида  между парой сигналов - определяется так:

.               (4.2.48)

Когда  для всех  и , это выражение упрощается:

.                        (4.2.49)

Итак, расстояние Евклида является альтернативной мерой похожести (или несходства) совокупности сигналов или соответствующих сигнальных векторов.

В следующем разделе мы опишем сигналы цифровой модуляции и используем пространство сигналов для их представления. Можно заметить, что сигналы цифровой модуляции удобно представить через две ортонормированные базисные функции вида

                     (4.2.50)

Если  выразить как , то следует, что  в (4.2.42) можно выразить так:

,                  (4.2.51)

где  и  представляют модулирующие сигналы.

 



<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>