5.4.3. Вероятность ошибки при детектировании огибающей для М-позиционных ортогональных сигналов

Рассмотрим передачу  ортогональных сигналов равной энергии по каналу с АБГШ с детектированием огибающей в приёмнике. Мы также предположим, что  сигналов априорно равновероятны и что сигнал  передается на интервал . В качестве  решающих метрик на входе детектора используются  огибающих:

где

                                                      (5.4.32)

                                                      (5.4.33)

                 (5.4.34)

Компоненты аддитивного шума  и  - взаимно статистически независимые гауссовские величины с нулевым средним и одинаковой дисперсией . Таким образом, ФПВ для случайных величин на входе детектора равны

       (5.4.35)

                (5.4.36)

Сделаем замену переменных в совместных ФПВ, определяемых (5.4.35) и (5.4.36). Определим нормированные величины

                       (5.4.37)

Ясно,  и . Якобиан этого преобразования

        (5.4.38)

Следовательно,

      (5.4.39)

               (5.4.40)

В заключение при усреднении  по  множитель  исключается из (5.4.39) и (5.4.40). Таким образом находим, что имеет распределение Райса, а , имеет распределение Релея.

Вероятность правильного решения определяется вероятностью того, что  и . Следовательно,

       (5.4.41)

Поскольку случайные величины , статистически независимы, совместная вероятность в (5.4.41) определяется произведением  идентичных членов:

       (5.4.42)

где

(5.4.43)

Степень  от (5.4.43) можно выразить, пользуясь биномом Ньютона, так:

         (5.4.44)

Подставив этот результат в (5.4.42) и интегрируя по , получаем для вероятности правильного решения

   (5.4.45)

где  - ОСШ на символ. Тогда вероятность ошибки на символ  равна

   (5.4.46)

где  - ОСШ на бит.

Для двоичных ортогональных сигналов  (5.4.46) приводится к простому виду

                                                                  (5.4.47)

Для  мы можем вычислить вероятность ошибки на бит, используя соотношение

                                                                  (5.4.48)

которое было установлено в разд. 5.2. Рисунок 5.4.5 показывает вероятность ошибки на бит как функцию ОСШ на бит  для . Для случая когерентного детектирования позиционных ортогональных сигналов (см. разд. 5.2.2) мы видели, что для любой заданной вероятности ошибки ОСШ на бит уменьшается по мере роста . В гл.7 будет показано, что в пределе, когда  , вероятность ошибки на бит  можно сделать сколь угодно малой при условии, что ОСШ на бит превышает предел Шеннона -1,6 дБ. Цена роста  - увеличение полосы, требуемой для передачи сигнала. Для позиционной ЧМ разнос частот между соседними частотами равен  для ортогональности сигналов. Полоса частот, требуемая для  сигналов, . Таким образом, битовая скорость , где . Следовательно, отношение битовой скорости к полосе равно

                                                                     (5.4.49)

Рис.5.4.5. Вероятность ошибки на бит для некогерентного детектирования ортогональных сигналов