5.4.4. Вероятность ошибки для коррелированных двоичных сигналов при детектировании огибающей

В этом разделе рассмотрим качество детектора огибающей для двоичных коррелированных сигналов равной энергии. Если два сигнала коррелированы, на вход детектора поступают комплексные величины, определенные (5.4.10). Предположим, что детектор выносит свои решения на основе огибающих  и , которые теперь коррелированы (статистически зависимы). Собственные ФПВ для  и  распределены по Райсу, и их можно выразить так:

      (5.4.50)

 , где  и  получены в предположении, что был передан сигнал .

Поскольку  и  статистически зависимы, как следствие неортогональности сигналов, вероятность ошибки можно найти, вычислив двойной интеграл

           (5.4.51)

где  - совместная ФПВ огибающих  и . Это исследование было впервые выполнено Хелстромом (1955), который определил совместную ФПВ  и  и рассчитал двойной интеграл в (5.4.51).

Альтернативный подход базируется на наблюдении, что вероятность ошибки можно выразить так:

    (5.4.52)

Но  - это частный случай общей квадратичной формы комплексных гауссовских случайных величин, рассмотренных в приложении В. В этом частном случае вероятность ошибки можно выразить в виде

                        (5.4.53)

где

    (5.4.54)

  - это функция Маркума, определенная (2.1.123), и  - модифицированная функция Бесселя нулевого порядка.

Вероятность ошибки  иллюстрируется на рис. 5.4.6 для нескольких значений . Вероятность  минимизируется, когда , т.е. сигналы ортогональны. В этом случае , и (5.4.53) даёт

                                  (5.4.55)

Рис.5.4.6. Вероятность ошибки для некогерентного детектирования

Из определения функции      в (2.1.123) следует, что

Подстановка этих отношений в (5.4.55) дает желаемый результат, определенный ранее (5.4.47). С другой стороны, если , вероятность ошибки в (5.4.53) получается, как и ожидалось, .