§ 113. Движение тела, брошенного под углом к горизонту

Если начальная скорость брошенного тела направлена вверх под некоторым углом к горизонту, то в начальный момент тело имеет составляющие начальной скорости как в горизонтальном, так и в вертикальном направлениях (рис. 178).

Рис. 178. Траектория тела, брошенного под углом  к горизонту (в отсутствие сопротивления воздуха)

Задача отличается от рассмотренной в предыдущем параграфе тем, что начальная скорость не равна нулю и для движения по вертикали. Для горизонтальной же составляющей все сказанное остается в силе.

Введем координатные оси: ось , направленную по вертикали вверх, и горизонтальную ось , расположенную в одной вертикальной плоскости с начальной скоростью . Проекция начальной скорости на ось  равна , а на ось  равна  (при показанном на рис. 178 направление осей  и  обе проекции положительны). Ускорение тела равно  и, следовательно, все время направлено по вертикали вниз. Поэтому проекция ускорения на ось  равна — , а на ось  — нулю.

Поскольку составляющая ускорения в направлении оси  отсутствует, проекция скорости на ось  остается постоянной и равной своему начальному значению . Следовательно, движение проекции тела на ось  будет равномерным. Движение проекции тела на ось  происходит в обоих направлениях — вверх и вниз — с одинаковым ускорением . Поэтому на прохождение пути вверх от произвольной высоты  до высоты подъема к затрачивается такое же время , как и на прохождение пути вниз от высоты  до . Отсюда следует, что симметричные относительно вершины  точки (например, точки  и ) лежат на одинаковой высоте. А это означает, что траектория симметрична относительно точки . Но характер траектории тела после точки  мы уже выяснили в § 112. Это — парабола, которую описывает тело, летящее с горизонтальной начальной скоростью. Следовательно, все то, что мы говорили относительно траектории тела в предыдущем параграфе, в равной мере относится и к рассматриваемому случаю, только вместо «половины параболы»  тело описывает «полную параболу» , симметричную относительно точки .

Проверить полученный результат можно также при помощи струи воды, вытекающей из наклонно поставленной трубки (рис, 179). Если позади струи поместить экран с заранее начерченными параболами, то можно увидеть, что струи воды также представляют собой параболы.

Рис. 179. Струя имеет форму параболы, тем более вытянутой, чем больше начальная скорость струи

Высота подъема и расстояние, которое пройдет брошенное тело в горизонтальном направлении до возвращения на ту высоту, с которой тело начало свое движение, т. е. расстояние  на рис. 178, зависят от модуля и направления начальной скорости . Прежде всего, при данном направлении начальной скорости и высота и горизонтальное расстояние тем больше, чем больше модуль начальной скорости (рис. 179).

Для одинаковых по модулю начальных скоростей расстояние, которое проходит тело в горизонтальном направлении до возвращения на первоначальную высоту, зависит от направления начальной скорости (рис. 180). При увеличении угла между скоростью и горизонтом это расстояние сначала увеличивается, при угле в  достигает наибольшего значения, а затем снова начинает уменьшаться.

Проведем расчет движения тела, брошенного вверх под углом  к горизонту с начальной скоростью  (рис. 178). Напомним, что проекция скорости тела на ось  постоянна и равна . Поэтому координата  тела в момент времени  равна

.                                                 (113.1)

Рис. 180. При увеличении наклона струи, вытекающей с данной скоростью, расстояние, на которое она бьет, сначала увеличивается, достигает наибольшего значения при наклоне в , а затем уменьшается

Движение проекции тела на ось  будет сначала равнозамедленным. После того как тело достигнет вершины траектории , проекция скорости  станет отрицательной, т. е. одного знака с проекцией ускорения, вследствие чего начнется равноускоренное движение тела вниз. Проекция скорости на ось  изменяется со временем по закону

.                                             (113.2)

В вершине траектории  скорость тела имеет только горизонтальную составляющую, а  обращается в нуль. Чтобы найти момент времени , в который тело достигнет вершины траектории, подставим в формулу (113.2)  вместо  и приравняем получившееся выражение нулю:

;   отсюда                             (113.3)

Определяемое формулой (113.3) значение  дает время, за которое брошенное тело достигает вершины траектории. Если точка бросания и точка падения тела лежат на одном уровне,  то все время  полета  будет равно :

                                                                                 (113.4)

Умножив  на время полета , найдем координату  точки падения тела, т. е. дальность полета:

.                                (113.5)

Из этой формулы видно, что дальность полета будет максимальной в случае, когда , т.е. при  (что уже указывалось выше).

Согласно формулам (22.1) и (113.2) координата  изменяется  со временем по закону

                                                              (113.6)

Подставив в эту формулу  вместо  найдем координату , отвечающую вершине траектории , т. е. высоту, подъема тела :

.

Приведя подобные члены, получим

.                                                             (113.7)

Высота растет с увеличением  и достигает наибольшего значения, равного , при  т. е. при бросании тела вертикально вверх.

113.1. Камень, брошенный с земли вверх под углом к горизонту, падает обратно на землю на расстоянии 14 м. Найти горизонтальную и вертикальную составляющие начальной скорости камня, если весь полет продолжался 2 с. Найти наибольшую высоту подъема камня над землей. Сопротивлением воздуха пренебречь.

113.2. Пожарный направляет струю воды на крышу дома высоты 15 м. Над крышей дома струя поднимается на 5 м. На каком расстоянии от пожарного (считая по горизонтали) струя упадет на крышу, если она вырывается из шланга со скоростью 25 м/с? Сопротивлением воздуха пренебречь.