§ 83. Условия устойчивого равновесия под действием силы тяжести

Сопоставляя рассмотренные случаи равновесия, можно подметить общее для всех случаев условие устойчивости: если центр тяжести тела занимает наинизшее положение по сравнению со всеми возможными соседними положениями, то равновесие устойчиво. Действительно, тогда при отклонении в любую сторону от этого положения центр тяжести будет подниматься, и сила тяжести будет возвращать тело обратно. По этому признаку мы, не производя опыта, можем простым способом установить, будет тело находиться в устойчивом равновесии или нет.

Рассмотрим, например, однородный полушар, помещенный на горизонтальную плоскость (рис. 133); центр тяжести этого полушара  лежит на радиусе  ниже точки . Положим, что полушар немного наклонился и опирается  плоскость точкой  (рис. 133, б). Легко видеть, что расстояние  больше расстояния ; значит, при отклонении от положения равновесия центр тяжести поднимается и положение равновесия полушара должно являться устойчивым.

Рис. 133. Так как в положении а) центр тяжести расположен ниже, чем в положении б), то равновесие устойчиво

Рассмотрим теперь условия равновесия тела, опирающегося не на одну точку, как при подвешивании тела или при помещении шара на плоскость, а на несколько точек (например, стол) или на целую площадку (например, ящик, поставленный на горизонтальную плоскость). В этих случаях условие устойчивости следующее: для равновесия необходимо, чтобы вертикаль, проведенная через центр тяжести, проходила внутри площади опоры тела, т. е. внутри контура, образованного линиями, соединяющими точки опоры, или внутри площадки, на которую опирается тело. При этом равновесие является устойчивым.

Рис. 134. При отклонении стола (б) от его положения равновесия (а) центр тяжести поднимается — равновесие устойчиво. В положении в) стол отклонен на предельный угол; при дальнейшем отклонении центр тяжести будет опускаться — равновесие неустойчиво

Например, стол, стоящий на горизонтальном полу, находится в устойчивом равновесии (рис. 134, а). В самом деле, если наклонять стол, то его центр тяжести будет подниматься (рис. 134, б). Если, однако, наклонить стол так, чтобы вертикаль, проходящая через центр тяжести, вышла за пределы площади опоры, то момент силы тяжести будет вращать стол, удаляя его от положения равновесия, центр тяжести начнет опускаться, и стол опрокинется: имеется предельный угол наклона, после которого равновесие уже не восстанавливается и тело опрокидывается. При наклоне в точности на предельный угол тело находится в равновесии, так как направление силы тяжести проходит через точку опоры (рис. 134, в), но это положение равновесия неустойчиво: тело либо вернется в устойчивое положение равновесия, либо опрокинется.

Очевидно, предельный угол тем меньше, чем выше лежит центр тяжести при данной площади опоры. Воз, грузовик или железнодорожная платформа, высоко нагруженные, легче могут опрокинуться, чем в случае, когда центр тяжести груза лежит низко. Устойчивость может быть улучшена увеличением площади опоры.

Рис. 135. Ванька-встанька

Из условия равновесия тела, опирающегося на несколько точек, делается ясным, почему подъемные краны всегда снабжаются тяжелым противовесом. Благодаря противовесу общий центр тяжести крана, груза и противовеса не выступает за прямоугольник, ограниченный точками опоры колес, даже тогда, когда кран поднимает тяжелый груз. Если центр тяжести тела с самого начала выходит за пределы площади опоры, как, например, для скамьи, на выступающий край которой сел человек, то равновесия нет, и скамья опрокидывается.

Практически в большинстве случаев приходится встречаться только с положениями устойчивого равновесия, так как только в таких положениях тело, предоставленное самому себе, может оставаться сколько угодно времени, несмотря на случайные толчки. В противоположность этому, тело, помещенное в неустойчивое положение равновесия, удаляется от этого положения.

Можно, однако, так управлять условиями, в которых находится тело, что оно будет долго оставаться вблизи положения неустойчивого равновесия, колеблясь вблизи него то в одну, то в другую сторону. Например, длинная палка, поставленная вертикально на пол, находится в неустойчивом положении равновесия и падает, как только мы отнимем от нее руку. Но палкой можно «балансировать», удерживая ее вблизи неустойчивого вертикального положения на конце пальца: для этого достаточно только слегка двигать рукой в ту же сторону, куда в данный момент наклоняется палка. Этим мы смещаем точку опоры и соответственно изменяем момент силы тяжести, который начинает отклонять палку в противоположном направлении. Конечно, такие движения нужно производить непрерывно, давая палке лишь слегка отклоняться то в одну, то в другую сторону под действием изменяющегося момента силы тяжести. Путем тренировки можно добиться такого точного управления моментами, что удается удерживать вблизи неустойчивого равновесия целые конструкции (как это делают жонглеры в цирке). Следя за игрой собственных ножных мускулов, можно заметить, что, стоя на одной ноге, мы практически находимся в состоянии неустойчивого равновесия: для того чтобы не упасть, все время приходится переносить точку опоры тела то на пятку, то на носок.

83.1. Если игрушку «ванька-встанька» (рис. 135)  положить на бок, то она поднимется. Где примерно находится ее центр тяжести?

83.2. Будет ли находиться в положении устойчивого равновесия тонкая линейка, опирающаяся на цилиндрическую поверхность (рис. 136)?

Рис. 136. К упражнению 83.2                                       Рис. 137. К упражнению 83.5

83.3. Почему человек, несущий груз на спине, наклоняется вперед?

83.4. Сплошной цилиндр стоит на доске длины 50 см. На какую наибольшую высоту можно поднять один из концов доски, чтобы цилиндр не упал, если его высота в четыре раза больше диаметра основания?

83.5. Карандаш с воткнутым в него ножиком находится в устойчивом равновесии (рис. 137). Объясните это явление.