§ 9. Упругие колебания

У маятника возвращающая сила обязана своим возникновением силе тяжести. Но для колебаний существенно только само наличие возвращающей силы, т. е. такой силы, которая всегда направлена к положению равновесия и, вообще говоря, увеличивается с удалением от этого положения. Такого рода силы возникают также при деформации твердых тел и представляют собой упругие силы (см. том I, § 58). Следовательно, эти упругие силы тоже могут вызывать колебания. По происхождению возвращающей силы такие колебания называются упругими. Выше мы уже приводили ряд примеров.

Колебания тела, подвешенного на пружине (такое устройство часто называют пружинным маятником), вагона на рессорах, пластинки, зажатой в тиски, колебания камертона, натянутой струны, моста, фундамента, фабричной трубы или высокого здания — все это упругие колебания. В соответствии с иным происхождением возвращающей силы потенциальная энергия упругих колебаний есть  энергия деформации упругого тела, а не потенциальная энергия силы тяжести, как у маятника. В остальном динамика упругих колебаний та же, что и у маятника. И здесь мы имеем дважды за период переход кинетической энергии в потенциальную {энергию деформации) и обратно.

Особенно просто проследить все стадии этого процесса, наблюдая тело, например шарик, колеблющееся на пружинах. В этом случае можно считать, что энергия деформации имеется только у пружин, а не у шарика, деформацией которого можно пренебречь. Если же масса тела велика по сравнению с массой пружин, то можно считать, что кинетическая энергия имеется только у тела, а не у пружин, массой которых мы пренебрегаем. Таким образом, переход энергии из кинетической в потенциальную и обратно является вместе с тем переходом энергии от тела к пружинам и обратно.

Рис. 17. Колебания тела на пружинах

На рис. 17 показаны четыре положения такой колебательной системы, взятые через каждую четверть периода. В положении 1 тело наиболее сильно отклонено вправо, одна пружина сжата, другая растянута, скорость и кинетическая энергия равны нулю, вся энергия потенциальная. В положении 2 пружины не деформированы, тело с наибольшей скоростью проходит через положение равновесия, вся энергия кинетическая. В положении 3 происходит то же, что и в положении 1. В положении 4 отличие от положения 2 только в направлении скорости.

Взяв при тех же пружинах тело с большей массой, легко убедиться, что частота колебаний уменьшится. С помощью секундомера можно убедиться в том, что четырехкратное увеличение массы тела удлиняет период колебаний (т. е. уменьшает их частоту) в два раза. При массе, увеличенной в девять раз, период увеличится в три раза. Период упругих колебаний пропорционален квадратному корню из массы тела. Этот результат будет получаться на опыте тем точнее, чем лучше выполнены описанные условия, когда можно считать массу сосредоточенной в одной точке (центре тяжести тела) и не принимать во внимание массу пружин. Однако во всех случаях увеличение массы упругой колебательной системы влечет за собой замедление колебаний, увеличение их периода.

Проделаем теперь опыт, оставив тело прежней массы, но заменив пружину более жесткой. Мы тотчас же увидим, что период колебаний уменьшился. Таким образом, период упругих колебаний тем меньше, чем больше жесткость пружины, т.е. чем меньше упругость системы.

Исследование упругих колебаний груза на пружине показывают, что при не слишком больших амплитудах эти колебания являются гармоническими, причем период их выражается формулой математического маятника:

.

Здесь  - масса колеблющегося груза,  - жесткость пружины, т.е. сила, необходимаядля растяжения пружины на единицу длины.