Читать в оригинале

<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>


11.4. ФИЛЬТРЫ НА ОСНОВЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ

Алгоритм свертки с применением БПФ, рассмотренный в предыдущем разделе, часто используют при машинном моделировании линейных аналоговых фильтров. В данном разделе проанализированы ошибки, присущие такому методу моделирования, и описаны способы определения дискретной частотной характеристики по заданной непрерывной частотной характеристике. В целях упрощения изложения здесь описываются только одномерные сигналы.

Рассмотрим длинный одномерный непрерывный сигнал , спектр которого  равен нулю, если  больше частоты среза . Нужно найти свертку сигнала с непрерывным импульсным откликом , частотная характеристика которого  также ограничена частотой . Как упоминалось в гл. 1, свертку можно выполнить либо в пространственной области в соответствии с соотношением

,                 (11.4.1а)

либо в частотной области

.                    (11.4.1б)

В гл. 9 описана методика дискретизации интеграла свертки (11.4.1). Непрерывный импульсный отклик  необходимо подвергнуть усечению, умножив его на весовую функцию . В результате получается взвешенный импульсный отклик

,             (11.4.2)

где  при . Весовая функция уменьшает эффекты, связанные с усечением. Интеграл свертки аппроксимируется выражением.

.                (11.4.3)

Затем в  точке берут отсчеты выходного сигнала с интервалом , а непрерывный интеграл заменяют суммой с тем же шагом . В результате получается дискретное представление

,                   (11.4.4)

где  - целое число, ближайшее к значению дроби .

Для вычисления суммы (11.4.4) с помощью дискретного преобразования Фурье можно следующим образом применить алгоритм, описанный в разд. 11.3. На первом этапе в качестве первых  элементов -элементной последовательности берутся отсчеты взвешенного импульсного отклика, а в качестве последующих  элементов - нули. Таким образом,

,                     (11.4.5)

где . Элементы последовательности  можно получить из непрерывного импульсного отклика  и весовой функции , дискретизируя произведение этих функций, т. е.

.                        (11.4.6)

На следующем этапе вычисляется дискретное преобразование Фурье  в  точках

,                      (11.4.7)

где . После подстановки выражения для  в формулу (11.4.7) и преобразований получается, что дискретная частотная характеристика фильтра связана с аналоговой частотной характеристикой  и спектром Фурье  весовой функции соотношением

,              (11.4.8а)

,               (11.4.8б)

где , а .

Равенства (11.4.8) задают искомую связь между дискретной и непрерывной частотными характеристиками. Если непрерывная частотная характеристика  и спектр Фурье  весовой функции известны и заданы в аналитическом виде, то в принципе отсчеты дискретной частотной характеристики можно получить, выполнив аналитическим путем свертку (11.4.8б) и находя числовые значения полученной при этом функции в точках  для каждого значения параметра . На практике часто не удается вычислить свертку аналитически, особенно для двумерных сигналов, и оказывается проще выполнить обратное преобразование Фурье частотной характеристики  для получения аналитического выражения импульсного отклика и затем взять отсчеты  в соответствии с формулой (11.4.6). Можно использовать и другой подход: согласно равенству (11.4.8), взять отсчеты дискретного обратного преобразования Фурье , умножить расширенную последовательность отсчетов импульсного отклика на весовую функцию, а затем, выполнив дискретное преобразование Фурье, получить .

Умножение на весовую функцию, которое можно выполнить согласно равенству (11.4.6) или неявно в спектральной области с помощью соотношения (11.4.8), совершенно необходимо, если нужно подавить описанные в гл. 9 циклические ошибки. При фильтрации изображений обычно делается типичная ошибка, когда в качестве дискретного импульсного отклика берется последовательность отсчетов непрерывного импульсного отклика. Тогда в общем случае все  элементов соответствующего расширенного дискретного импульсного отклика будут ненулевыми, т. е. длина  дискретного импульсного отклика, «погружаемого» в расширенный вектор (11.4.5), неявно будет принята равной . Поэтому все профильтрованные отсчеты будут искажены из-за циклической ошибки.

Известно [10-12] несколько видов весовых функций, пригодных для использования при дискретной линейной фильтрации. Некоторые из них, чаще всего встречающиеся на практике, приведены в табл. 11.4.1, а их графики - на рис. 11.4.1. На рис. 11.4.2 представлены соответствующие спектры, состоящие из главного лепестка и набора боковых лепестков, амплитуды которых обычно уменьшаются с ростом частоты. Анализ выражения (11.4.8) показывает, каким образом форма весовой функции и ее спектра влияет на выходной сигнал. Форма главного лепестка спектра весовой функции определяет искажение спектра сигнала в диапазоне от 0 до . Боковые лепестки вызывают наложение спектров, поскольку взвешенный импульсный отклик  имеет спектр неограниченной ширины. Плавные весовые функции имеют слабые боковые лепестки, что уменьшает ошибки наложения спектров, однако главный лепесток в этих случаях оказывается более широким, что приводит к сглаживанию спектра сигнала. При проектировании фильтров приходится находить компромисс между этими двумя видами ошибок. Обе ошибки можно уменьшить, увеличивая длину взвешенного импульсного отклика, однако при этом либо сокращается длина обработанного сигнала, либо увеличивается объем вычислений.

Таблица 11.4.1. Весовые функции

Функция

Определение

Прямоугольная

Бартлетта (треугольная)

Ханна

Хемминга

Блэкмана

Кайзера

,

 - модифицированная функция Бесселя нулевого порядка первого рода

299.jpg

Рис. 11.4.1. Одномерные весовые функции [10].

300.jpg

301.jpg

Рис. 11.4.2. Спектры одномерных весовых функций [10].

а - прямоугольной; б - треугольной (Бартлетта); в - Ханна; г - Хемминга; д - Блэкмана.

 



<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>