11.5. ПСЕВДООБРАЩЕНИЕ С ПРЕОБРАЗОВАНИЕМ

Обработку с использованием преобразований можно с успехом применить для получения обобщенных обратных матриц. Как видно из соотношения (11.1.6б), матрица  линейного оператора в спектральном пространстве связана с произвольной матрицей  размера  следующим образом:

.                      (11.5.1)

В тех же обозначениях обобщенная обратная матрица  определяется как

,                 (11.5.2)

где  - матрица размера . Соотношения (11.5.1) и (11.5.2) являются самосогласованными, поскольку известно, что для произвольной матрицы  и унитарных матриц  и  выполняется равенство  [13, стр. 100].

Если ранг матрицы  равен , то, согласно формуле (8.3.5),

                   (11.5.3)

и нетрудно показать, что

.            (11.5.4)

В противоположном случае, когда ранг матрицы  равен , из формулы (8.3.6) следует, что

                  (11.5.5)

и обобщенная обратная матрица преобразования в спектральном пространстве удовлетворяет соотношению

.             (11.5.6)

Укажем для примера, что обобщенные обратные матрицы относительно матриц максимального ранга, соответствующих операторам суперпозиции  и , определяются равенствами

,                      (11.5.7а)

,                       (11.5.7б)

.                   (11.5.7в)

На рис. 11.5.1 представлены распечатки обобщенных обратных матриц для операторов свертки одномерных сигналов с использованием преобразований Фурье и Адамара. Хорошо заметно, что эти матрицы более разрежены, чем исходные матрицы. Более того, обобщенная обратная матрица оператора циклической свертки с преобразованием Фурье является диагональной, поскольку, как следует из равенства (11.2.13), матрица  - диагональная.

Рис. 11.5.1. Обобщенные обратные матрицы операторов свертки одномерных сигналов с использованием преобразований Фурье и Адамара.

а - конечная свертка; б - дискретизованная интегральная свертка; в - циклическая свертка.