11.6. РЕКУРСИВНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯВ предыдущих разделах данной главы обработка с преобразованием рассматривалась как косвенный метод выполнения двумерной линейной обработки. Было показано, что для обработки с преобразованием часто требуется гораздо меньше арифметических операций, чем при использовании стандартных методов. В данном разделе будет рассмотрен другой способ линейной обработки, называемый рекурсивной фильтрацией [14-16]. Иногда рекурсивная фильтрация оказывается даже более эффективной, чем обработка с преобразованием. Кроме того, в этом случае для хранения данных требуется ЗУ меньшей емкости, чем при обработке с преобразованием. Рекурсивная фильтрация основывается на рекуррентном соотношении между входными и выходными переменными системы. Для одномерных сигналов подобное рекуррентное соотношение имеет следующий вид [14]:
где Большинство методов синтеза и анализа рекурсивных фильтров основано на применении
Нетрудно показать, что
где Двумерная рекурсивная фильтрация основана на следующем рекуррентном соотношении между входным и выходным массивами [19, 20]:
где
где
При синтезе рекурсивных фильтров требуется выбрать такие массивы весовых множителей
являются абсолютно суммируемыми, т. е. удовлетворяют условию
Разработано несколько методов проверки рекурсивных фильтров на устойчивость [23-25]. При обработке изображения согласно равенству (11.6.4) требуется выполнить
арифметических операций. Здесь
операций. Для сравнения укажем, что для получения конечной свертки (см. разд. 9.3) требуется
операций, где
операций. Степень относительной эффективности трех типов обработки зависит от размеров массива импульсного отклика [27]. Если эти размеры невелики, то для прямого метода получения свертки и рекурсивной фильтрации требуется почти одинаковое число арифметических операций. В этом случае сравнить эффективность обоих методов с эффективностью получения свертки с использованием БПФ можно с помощью графика на рис. 11.3.2. При больших размерах массива импульсного отклика быстрый метод получения свертки оказался гораздо эффективнее прямого метода. Сравнивая число операций в равенствах (11.6.10) и (11.6.12), можно показать, что при больших размерах импульсного отклика рекурсивная фильтрация оказывается эффективнее быстрого метода получения свертки, если площади массивов коэффициентов рекурсивного фильтра удовлетворяют неравенству
где
|