1.7. АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ПОМОЩЬЮ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ

Теорема о преобразовании фурье свертки (1.6.14) оказывается очень полезным средством при анализе линейных систем. Рассмотрим функцию , описывающую изображение на входе линейной системы с импульсным откликом . Изображение на выходе описывается функцией , получаемой в результате свёртки:

                                                (1.7.1)

Выполнив преобразование Фурье обеих частей этого равенства и поменяв порядок интегрирования в его правой части, получим

     (1.7.2)

Согласно теореме о сдвиге (1.6.13), внутренний интеграл равен произведению спектра функции  и экспоненциального множителя фазового сдвига. Поэтому

        (1.7.3)

Выполнив преобразования Фурье, получим

                                                                     (1.7.4)

Наконец, обратное преобразование Фурье дает функцию, описывающую изображение на выходе:

     (1.7.5)

Выражения (1.7.1) и (1.7.5) представляют два альтернативных способа определения выходного изображения линейной пространственно-инвариантной системы. Выбор того или иного  подхода зависит от решаемой задачи.