1.8. ОБОБЩЕННЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
В разделе 1.4 были введены понятия линейности и суперпозиции с тем, чтобы распространить понятие линейности на более широкий класс систем.
Рассмотрим две функции, описывающие изображения,
и
, которые, взаимодействуя некоторым образом
, дают функцию
:
. (1.8.1)
Пусть
- оператор системы, преобразующей
, который обладает следующими свойствами:
(1.8.2a)
и
(1.8.2б)
где
- постоянная, а двоеточие обозначает обобщённое умножение на постоянную. В работе [4] показано, что если операция
сводится к сложению векторов, а операция : - к умножению вектора на скаляр, то оператор
может быть представлен в виде цепочки операторов, называемой гомоморфным фильтром (рис. 1.8.1). Первый оператор
превращает операции
и : в сложение векторов и умножение вектора на скаляр:
(1.8.3а)
и
(1.8.3б)

Рис. 1.8.1. Обобщенные линейные системы: а — обобщенная система; б — представление обобщенной системы в виде гомоморфного фильтра; в - мультипликативный гомоморфный фильтр.
Вторая ступень гомоморфного фильтра – обычная линейная система. Третья ступень – оператор
, который является обратным относительно первого оператора, т.е.
(1.8.4)
Рис. 1.8.1, в иллюстрирует частный случай гомоморфного фильтра для мультипликативной системы [5], в которой функция
получается в результате перемножения функций
и
, т.е.
(1.8.5)
Прологарифмировав обе части равенства (1.8.5), получим сумму логарифмов функций
и
:
(1.8.6)
Функция
преобразуется некоторой линейной системой, а затем посредством экспоненциального преобразования возвращается в пространство исходных изображений. Операция обобщенного умножения вектора на скаляр определяется как возведение в степень
(1.8.7)
Логарифмирование этого равенства дает
(1.8.8)
Применение гомоморфной фильтрации при восстановлении изображений рассмотрено в гл. 15.