1.8. ОБОБЩЕННЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
В разделе 1.4 были введены
понятия линейности и суперпозиции с тем, чтобы распространить понятие
линейности на более широкий класс систем.
Рассмотрим две функции, описывающие изображения,
и
, которые, взаимодействуя некоторым образом
, дают функцию
:
. (1.8.1)
Пусть
- оператор системы,
преобразующей
,
который обладает следующими свойствами:
(1.8.2a)
и
(1.8.2б)
где
- постоянная, а двоеточие обозначает
обобщённое умножение на постоянную. В работе [4] показано, что если операция
сводится к
сложению векторов, а операция : - к умножению вектора на скаляр, то оператор
может быть
представлен в виде цепочки операторов, называемой гомоморфным фильтром (рис. 1.8.1). Первый оператор
превращает операции
и : в сложение
векторов и умножение вектора на скаляр:
(1.8.3а)
и
(1.8.3б)
Рис. 1.8.1. Обобщенные линейные системы: а — обобщенная система; б — представление обобщенной системы
в виде гомоморфного фильтра; в - мультипликативный гомоморфный фильтр.
Вторая
ступень гомоморфного фильтра – обычная линейная система. Третья ступень –
оператор
,
который является обратным относительно первого оператора, т.е.
(1.8.4)
Рис. 1.8.1, в иллюстрирует частный случай
гомоморфного фильтра для мультипликативной системы [5], в которой функция
получается в
результате перемножения функций
и
, т.е.
(1.8.5)
Прологарифмировав обе части
равенства (1.8.5), получим сумму логарифмов функций
и
:
(1.8.6)
Функция
преобразуется некоторой линейной
системой, а затем посредством экспоненциального преобразования возвращается в
пространство исходных изображений. Операция обобщенного умножения вектора на
скаляр определяется как возведение в степень
(1.8.7)
Логарифмирование этого равенства дает
(1.8.8)
Применение гомоморфной
фильтрации при восстановлении изображений рассмотрено в гл. 15.