1.8. ОБОБЩЕННЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ

В разделе 1.4 были введены понятия линейности и суперпозиции с тем, чтобы распространить понятие линейности на более широкий класс систем.

Рассмотрим две функции, описывающие изображения, и , которые, взаимодействуя некоторым образом , дают функцию :

. (1.8.1)

Пусть - оператор системы, преобразующей , который обладает следующими свойствами:

(1.8.2a)

(1.8.2б)

где - постоянная, а двоеточие обозначает обобщённое умножение на постоянную. В работе [4] показано, что если операция сводится к сложению векторов, а операция : - к умножению вектора на скаляр, то оператор может быть представлен в виде цепочки операторов, называемой гомоморфным фильтром (рис. 1.8.1). Первый оператор превращает операции и : в сложение векторов и умножение вектора на скаляр:

(1.8.3а)

(1.8.3б)

Рис. 1.8.1. Обобщенные линейные системы: а — обобщенная система; б — представление обобщенной системы в виде гомоморфного фильтра; в - мультипликативный гомоморфный фильтр.

Вторая ступень гомоморфного фильтра – обычная линейная система. Третья ступень – оператор , который является обратным относительно первого оператора, т.е.

(1.8.4)

Рис. 1.8.1, в иллюстрирует частный случай гомоморфного фильтра для мультипликативной системы [5], в которой функция получается в результате перемножения функций и , т.е.

(1.8.5)

Прологарифмировав обе части равенства (1.8.5), получим сумму логарифмов функций и :

(1.8.6)

Функция преобразуется некоторой линейной системой, а затем посредством экспоненциального преобразования возвращается в пространство исходных изображений. Операция обобщенного умножения вектора на скаляр определяется как возведение в степень

(1.8.7)

Логарифмирование этого равенства дает

(1.8.8)

Применение гомоморфной фильтрации при восстановлении изображений рассмотрено в гл. 15.