1.9. ВЕРОЯТНОСТНОЕ ОПИСАНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙЧасто бывает удобно рассматривать изображение как реализацию случайного процесса. Введем порождающую изображения непрерывную случайную функцию Случайный процесс для
где параметры
плотность логарифмически нормального распределения
и плотность экспоненциального распределения
Эти плотности определены при
где
Есть обычная модель для флуктуаций фазы случайного процесса. Для описания случайного процесса можно использовать так же условные плотности вероятности. Условная плотность вероятности значения функции
Аналогично определяются условные плотности более высокого порядка. Другой способ описания случайного процесса состоит в вычислении средних по ансамблю. Первый момент, или среднее значение функции
Второй момент, или автокорреляционная функция, определяется как
Автоковариационная функция изображения определяется как
Автоковариационная и автокорреляционная функции связаны соотношением
наконец, дисперсия процесса
Случайный процесс, порождающий изображения, называется стационарным в строгом смысле, если его моменты не зависят от переноса начала координат в пространстве или времени. Процесс называется стационарным в широком смысле, если он имеет постоянную среднюю яркость, а его автокорреляционная функция зависит от разностей координат
и
Выражение для автокорреляционной функции можно записать в виде
Так как
для действительной функции
Во многих изображающих системах пространственные и временные процессы формирования изображений разделяются. В этом случае стационарную автокорреляционную функцию можно записать как
Часто для упрощения вычислений пространственную автокорреляционную функцию представляют в виде произведения автокорреляционных функций для каждой пространственной переменной:
В изображениях объектов, созданных человеком, часто встречаются горизонтальные и вертикальные структуры, поэтому аппроксимация автокорреляционной функции произведением (1.9.15) оказывается вполне приемлемой. В изображениях естественных сцен обычно нет преобладающих направлений корреляции. Пространственная автокорреляционная функция таких изображений близка к функции с вращательной симметрией и не является поэтому разделимой. Часто моделью изображения служат реализации двумерного марковского процесса первого порядка. Автоковариационная функция такого процесса имеет вид
где
Часто делается упрощающее предположение, что автоковариационная функция марковского процесса может быть представлена в виде
Энергетический спектр этого процесса есть
При детерминированном описании изображений были определены средние по пространству и времени. При статистическом описании также определяется среднее по ансамблю. Возникает вопрос: как связаны друг с другом пространственно-временные средние и средние по ансамблю? Ответ состоит в том, что для некоторых случайных процессов, называемых эргодическими, пространственно-временные средние и средние по ансамблю равны. Очень трудно доказать эргодичность случайного процесса в общем случае. Обычно достаточно определить эргодичность второго порядка, при которой моменты первого и второго порядка, полученные пространственно-временным усреднением, равны соответствующим моментам при усреднении по ансамблю.
|