Читать в оригинале

<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>


1.9. ВЕРОЯТНОСТНОЕ ОПИСАНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ

Часто бывает удобно рассматривать изображение как реализацию случайного процесса. Введем порождающую изображения непрерывную случайную функцию  трех переменных — пространственных координат  и времени .

Случайный процесс  полностью описывается совместной плотностью вероятности

для  значений функции  в точках отсчёта  Совместные плотности вероятности высокого порядка для изображений обычно не известны, и их в общем случае трудно моделировать. Для плотности вероятности первого порядка  иногда удаётся подобрать удачную модель из физических соображений или на основе измеренных гистограмм. Например, плотность вероятности первого порядка случайного шума в электронных преобразователях изображений хорошо моделируется гауссовой плотностью:

     (1.9.1)

где параметры  и  есть среднее и дисперсия шума. Гауссова плотность может также с приемлемой точностью служить моделью плотности вероятности коэффициентов унитарных преобразований изображений. Плотность вероятности яркости должна быть односторонней, так как яркость принимает только положительные значения. В качестве моделей плотности вероятности яркости применяются плотность распределения вероятностей Рэлея

                            (1.9.2а)

плотность логарифмически нормального распределения

     (1.9.2б)

и плотность экспоненциального распределения

                               (1.9.2в)

Эти плотности определены при , причем  - постоянная. Двусторонняя экспоненциальная, или лапласова, плотность

     (1.9.3)

где  - постоянная, часто используется как модель плотности вероятности разностей отсчетов функции, описывающей изображение. Наконец, плотность равномерного распределения

                                      (1.9.4)

Есть обычная модель для флуктуаций фазы случайного процесса. Для описания случайного процесса можно использовать так же условные плотности вероятности. Условная плотность вероятности значения функции  в точке  при заданном значении этой функции в точке  определяется как

     (1.9.5)

Аналогично определяются условные плотности более высокого порядка.

Другой способ описания случайного процесса состоит в вычислении средних по ансамблю. Первый момент, или среднее значение функции  равен

                        (1.9.6)

Второй момент, или автокорреляционная функция, определяется как

   (1.9.7)

Автоковариационная функция изображения определяется как 

    (1.9.8а)

Автоковариационная и автокорреляционная функции связаны соотношением

   (1.9.8б)

наконец, дисперсия процесса  есть

                                    (1.9.9)

Случайный процесс, порождающий изображения, называется стационарным в строгом смысле, если его моменты не зависят от переноса начала координат в пространстве или времени. Процесс называется стационарным в широком смысле, если он имеет постоянную среднюю яркость, а его автокорреляционная функция зависит от разностей координат  , , но не от самих координат. Для стационарного  процесса

                                                                  (1.9.10а)

и

     (1.9.10б)

Выражение для автокорреляционной функции можно записать в виде

     (1.9.11)

Так как

                                        (1.9.12)

для действительной функции  автокорреляционная функция является действительной и четной. Энергетический спектр стационарного изображения по определению есть результат трехмерного преобразования Фурье его автокорреляционной функции:

     (1.9.13)

Во многих изображающих системах пространственные и временные процессы формирования изображений разделяются. В этом случае стационарную автокорреляционную функцию можно записать как

                          (1.9.14)

Часто для упрощения вычислений пространственную автокорреляционную функцию представляют в виде произведения автокорреляционных функций для каждой пространственной переменной:

                                                  (1.9.15)

В изображениях объектов, созданных человеком, часто встречаются горизонтальные и вертикальные структуры, поэтому аппроксимация автокорреляционной функции произведением (1.9.15) оказывается вполне приемлемой. В изображениях естественных сцен обычно нет преобладающих направлений корреляции. Пространственная автокорреляционная функция таких изображений близка к функции с вращательной симметрией и не является поэтому разделимой.

Часто моделью изображения служат реализации двумерного марковского процесса первого порядка. Автоковариационная функция такого процесса имеет вид

                        (1.9.16)

где ,  и  — масштабные множители. Соответствующий энергетический спектр равен

     (1.9.17)

Часто делается упрощающее предположение, что автоковариационная функция марковского процесса может быть представлена в виде

                         (1.9.18)

Энергетический спектр этого процесса есть

       (1.9.19)

При детерминированном описании изображений были определены средние по пространству и времени. При статистическом описании также определяется среднее по ансамблю. Возникает вопрос: как связаны друг с другом пространственно-временные средние и средние по ансамблю? Ответ состоит в том, что для некоторых случайных процессов, называемых эргодическими, пространственно-временные средние и средние по ансамблю равны. Очень трудно доказать эргодичность случайного процесса в общем случае. Обычно достаточно определить эргодичность второго порядка, при которой моменты первого и второго порядка, полученные пространственно-временным усреднением, равны соответствующим моментам при усреднении по ансамблю.

 



<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>