1.10. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ В ИЗОБРАЖАЮЩЕЙ СИСТЕМЕ

Часто известны плотность вероятности или моменты случайного поля, представляющего изображение, на входе некоторой системы и требуется определить соответствующие характеристики для изображения на выходе этой системы. Если передаточная функция системы представлена в виде алгебраического выражения, то можно найти плотность вероятности на выходе посредством преобразования плотности вероятности на входе. Пусть, например, функции, описывающие изображения на входе и выходе системы, связаны следующим образом:

                                                    (1.10.1)

где  - монотонный оператор, действующий на функцию . Тогда плотность вероятности на выходе есть

                                   (1.10.2)

Преобразование вида (1.10.2)  можно распространить на плотности вероятности высокого порядка, однако часто полученные соотношения оказываются слишком громоздкими.

Моменты случайного поля на выходе системы могут быть получены непосредственно, если известна его плотность вероятности, или в некоторых случаях косвенным путем, исходя из свойств оператора системы. Если, например, этот оператор является линейным, то среднее значение поля  есть

                         (1.10.3)

Можно показать, что если оператор системы линеен, а случайное поле на входе системы стационарно в строгом смысле, то случайное поле на выходе также стационарно в строгом смысле. Если же поле на входе стационарно в широком смысле, то в том же смысле стационарно поле на выходе.

Рассмотрим линейную пространственно-инвариантную систему, изображение на выходе которой представляется интегралом свертки:

                 (1.10.4)

где  - импульсный отклик системы. Среднее значение  есть

     (1.10.5)

Если случайное поле на входе стационарно, то среднее значение  постоянно и может быть вынесено из под интеграла. Тогда

      (1.10.6)

где  есть частотная характеристика линейной системы в начале координат пространственно-временной частотной области. Таким же способом легко показать, что автокорреляционные функции входного и выходного полей связаны соотношением

      (1.10.7)

Выполнив преобразование Фурье обеих частей равенства (1.10.7) и используя теорему о преобразовании Фурье свертки, получим соотношение между энергетическими спектрами входного и выходного полей

       (1.10.8а)

                                                  (1.10.8б)

Этот результат будет полезен при анализе действия шумов в изображающих системах.