5.3. ВЕКТОРНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЙ

В гл. 1 яркость, координата цвета или какой-то другой подходящий параметр, описывающий изображение, представлялись непрерывной функцией . С помощью методов дискретизации изображений, рассмотренных в гл. 4, непрерывное изображение, зафиксированное в некоторый момент времени, можно представить в виде массива отсчетов  в некоторой прямоугольной области . Часто этот массив полезно рассматривать как матрицу с  элементами:

,          (5.3.1)

где , а индексы отсчетов перенумерованы так, как это принято в теории матриц.

Для облегчения анализа удобно перейти от матричного представления изображения к векторному, собирая элементы столбцов (или строк) матрицы  в один длинный вектор [9]. Формально эту операцию можно представить с помощью вспомогательного вектора  размера  и матрицы , определяемых следующим образом:

          (5.3.2)

В этом случае матрица  будет представлена в векторной форме с помощью операции упорядочения

     (5.3.3)

Вектор  выделяет -й столбец матрицы , а матрица  помещает этот столбец на место, отведенное для -го отрезка вектора . Таким образом, вектор  содержит все элементы матрицы , последовательно считанные по столбцам. Обратная операция преобразования вектора  в матрицу  описывается соотношением

.      (5.3.4)

С помощью формул (5.3.3) и (5.3.4) легко установить связь между матричным и векторным представлениями двумерного массива. Достоинствами представления изображения в векторной форме являются большая компактность обозначений и возможность непосредственного использования методов, разработанных для обработки одномерных сигналов. Следует отметить, что выражения (5.3.3) и (5.3.4) не только описывают лексикографическую связь между матрицей и вектором, но и определяют некоторые операторы, которыми можно пользоваться при математическом анализе. В последующих разделах приводятся многочисленные примеры применения этих операторов упорядочения.