5.4. СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ДИСКРЕТНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ [5, 10]
Статистические методы описания непрерывных изображений, приведенные в гл. 1, можно непосредственно применить и для описания дискретных изображений. В данном разделе получены выражения для моментов дискретных изображений. Модели совместных плотностей вероятностей приведены в следующем разделе.
Среднее значение матрицы, описывающей дискретное изображение, представляет собой матрицу
. (5.4.1)
Если эта матрица разверткой по столбцам преобразована в вектор, то среднее значение этого вектора есть
. (5.4.2)
Корреляция двух элементов изображения с координатами
и
определяется как
. (5.4.3)
Ковариация двух элементов изображения есть
. (5.4.4)
И наконец, дисперсия элемента изображения равна
. (5.4.5)
Если матрица изображения преобразована в вектор
, то корреляционную матрицу этого вектора можно выразить через корреляции элементов матрицы
:
, (5.4.6a)
или
. (5.4.6б)
Выражение
(5.4.7)
представляет собой корреляционную матрицу
-го и
-го столбцов матрицы
и имеет размеры
. Следовательно,
можно представить в виде блочной матрицы
(5.4.8)
Ковариационную матрицу вектора
можно получить на основе его корреляционной матрицы и вектора средних значений с помощью соотношения
. (5.4.9)
Матрица дисперсий
массива чисел
по определению является матрицей, элементы которой равны дисперсиям соответствующих элементов массива. Элементы матрицы
можно непосредственно выделить из блоков матрицы
:
. (5.4.10)
Если дискретное изображение представляется массивом, стационарным в широком смысле, то его корреляционную функцию можно записать в виде
, (5.4.11)
где
и
. Соответственно блоки ковариационной матрицы (5.4.9) будут связаны соотношениями
,
, (5.4.12а)
,
, (5.4.12б)
где
. Таким образом, для стационарного в широком смысле массива
(5.4.13)
Матрица (5.4.13) является блочно-тёплицевой [11]. Наконец, если корреляционную функцию изображения можно записать в виде произведения корреляционных функций строк и столбцов, то ковариационную матрицу вектора
, представляющего изображение, можно записать в виде прямого произведения ковариационных матриц для строк и столбцов:
(5.4.14)
где
- ковариационная матрица столбцов матрицы
, имеющая размеры
, а
- ковариационная матрица строк матрицы
с размерами
.
Рассмотрим случай, когда ковариационная матрица строк матрицы
имеет следующий вид:
(5.4.15)
где
- дисперсия элементов изображения. Эта ковариационная матрица - аналог непрерывной автоковариационной функции вида
- описывает марковский процесс. На рис. 5.4.1 приведены полученные Дэвиссоном [12] значения коэффициентов корреляции элементов строки типичного изображения. Экспериментальные точки хорошо аппроксимируются ковариационной функцией марковского процесса с параметром
. Аналогично значения коэффициентов корреляции в направлении, перпендикулярном к строкам, хорошо согласуются с марковской ковариационной функцией при
. Если ковариационная функция может быть представлена в виде (5.4.14), то коэффициенты корреляции по диагонали должны быть равны произведению соответствующих коэффициентов корреляции вдоль строк изображения и в направлении, перпендикулярном к ним. В данном примере оказалось, что такая аппроксимация является достаточно точной в области от нуля до пяти шагов дискретизации.
По аналогии с непрерывным энергетическим спектром (1.8.11) можно определить дискретную спектральную плотность дискретного стационарного двумерного случайного поля, представляющего изображение, как результат двумерного дискретного преобразования Фурье автокорреляционной функции этого поля. Тогда в силу равенства (5.4.11) будем иметь
(5.4.16)

Рис. 5.4.1. Пример корреляционных зависимостей между соседними элементами изображения.
На рис. 5.4.2 приведены энергетические спектры марковских процессов.