1.3. СИНГУЛЯРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Сингулярные операторы широко применяются при анализе двумерных систем, особенно систем, в которых производится дискретизация непрерывных функций. Двумерная дельта-функция Дирака есть сингулярный оператор, обладающий следующими свойствами:

               (1.3.1а)

                   (1.3.1б)

                            (1.3.1в)

                         (1.3.1г)

Величина  здесь обозначает бесконечно малый предел интегрирования.

Двумерная дельта-функция может быть представлена как произведение двух одномерных дельта-функций ортогональных координат :

                          (1.3.2)

где одномерные дельта-функции удовлетворяют одномерным соотношениям, аналогичным (1.3.1). Дельта-функция может быть также определена как предел некоторых функций [1, стр. 275] например прямоугольной функции

          (1.3.3а)

круговой функции

  (1.3.3б)

гауссовой функции

    (1.3.3в)

sinc-функции

      (1.3.3г)

бесселевой функции

         (1.3.3д)

где

          (1.3.4а)

                 (1.3.4б)

             (1.3.4в)

Другим полезным определением дельта-функции является следующее тождество [2, стр. 99]:

     (1.3.5)

где .