8.5. РЕШЕНИЕ СОВМЕСТНЫХ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Установив существование решения системы уравнений
(8.5.1)
следует определить характер решения: является ли оно единственным или же решений несколько, а также какой вид имеет решение? Ответ на последний вопрос содержится в следующей фундаментальной теореме [4]:
Если решение системы уравнений
существует, то в общем случае оно имеет вид
(8.5.2)
где
- матрица, условно обратная относительно матрицы
, a
- произвольный вектор размера
.
Для доказательства умножим обе части соотношения (8.5.2) на матрицу
:
(8.5.3)
Однако по условию существования решения
. Кроме того, согласно определению условно обратной матрицы,
. Следовательно,
и вектор
является решением.
Поскольку
, то, умножив обе части этого равенства на матрицу
, получим
(8.5.4а)
или
(8.5.4б)
Прибавив к обеим частям вектор
, получим
(8.5.5)
Этот результат совпадает с соотношением (8.5.2), если вектор
, стоящий в правой части формулы (8.5.5), заменить на произвольный вектор
.
Поскольку обобщенная обратная матрица
и матрица
обращения методом наименьших квадратов являются условно обратными, то общее решение системы (8.5.1) также можно представить в виде
(8.5.6а)
(8.5.6б)
Решение очевидно, будет единственным, если
. Bo всех подобных случаях
. Исследовав ранг матрицы
, можно доказать, что [4] если решение системы уравнений
существует, что оно единственно тогда и только тогда, когда ранг матрицы
размера
равен
.
Отсюда следует, что если решение недоопределенной системы уравнений существует, то оно не единственно. С другой стороны, переопределенная система уравнений может иметь только одно решение.
Пусть для системы уравнений (8.5.1) может быть получено точное решение. Рассмотрим оценку
(8.5.7)
где
обозначает одну из матриц, псевдообратных относительно
, которая не обязательно будет совпадать с этим решением, поскольку произведение матриц
может не равняться единичной матрице. Величину ошибки, т. е. отклонение оценки
от истинного значения
, обычно выражают через квадрат разности векторов
и
в виде произведения
(8.5.8а)
или как
(8.5.8б)
Подставив выражение (8.5.7) в (8.5.8а), получим
(8.5.9)
Значение матрицы
, при котором ошибка (8.5.8) оказывается минимальной, можно найти, приравняв нулю производную от ошибки
по вектору
. Согласно соотношению (5.1.34),
(8.5.10)
Равенство (8.5.10) удовлетворяется, если матрица
, т. е. является обобщенной обратной матрицей относительно
. При этом ошибка оценивания уменьшается до минимума, равного
(8.5.11а)
или
(8.5.11б)
Как и ожидалось, ошибка становится равной нулю, когда
. Это произойдет, например, если обобщенная обратная матрица
имеет ранг
и определяется соотношением (8.3.5).