8.5. РЕШЕНИЕ СОВМЕСТНЫХ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Установив существование решения системы уравнений

                                             (8.5.1)

следует определить характер решения: является ли оно единственным или же решений несколько, а также какой вид имеет решение? Ответ на последний вопрос содержится в следующей фундаментальной теореме [4]:

Если решение системы уравнений  существует, то в общем случае оно имеет вид

                (8.5.2)

где  - матрица, условно обратная относительно матрицы , a  - произвольный вектор размера .

Для доказательства умножим обе части соотношения (8.5.2) на матрицу :

     (8.5.3)

Однако по условию существования решения . Кроме того, согласно определению условно обратной матрицы, . Следовательно,  и вектор  является решением.

Поскольку , то, умножив обе части этого равенства на матрицу , получим

                                  (8.5.4а)

или

                           (8.5.4б)

Прибавив к обеим частям вектор , получим

     (8.5.5)

Этот результат совпадает с соотношением (8.5.2), если вектор , стоящий в правой части формулы (8.5.5), заменить на произвольный вектор .

Поскольку обобщенная обратная матрица  и матрица  обращения методом наименьших квадратов являются условно обратными, то общее решение системы (8.5.1) также можно представить в виде

     (8.5.6а)

     (8.5.6б)

Решение очевидно, будет единственным, если . Bo всех подобных случаях . Исследовав ранг матрицы , можно доказать, что [4] если решение системы уравнений  существует, что оно единственно тогда и только тогда, когда ранг матрицы  размера  равен .

Отсюда следует, что если решение недоопределенной системы уравнений существует, то оно не единственно. С другой стороны, переопределенная система уравнений может иметь только одно решение.

Пусть для системы уравнений (8.5.1) может быть получено точное решение. Рассмотрим оценку

     (8.5.7)

где  обозначает одну из матриц, псевдообратных относительно , которая не обязательно будет совпадать с этим решением, поскольку произведение матриц  может не равняться единичной матрице. Величину ошибки, т. е. отклонение оценки  от истинного значения , обычно выражают через квадрат разности векторов  и  в виде произведения

                   (8.5.8а)

или как

           (8.5.8б)

Подставив выражение (8.5.7) в (8.5.8а), получим

     (8.5.9)

Значение матрицы , при котором ошибка (8.5.8) оказывается минимальной, можно найти, приравняв нулю производную от ошибки  по вектору . Согласно соотношению (5.1.34),

     (8.5.10)

Равенство (8.5.10) удовлетворяется, если матрица , т. е. является обобщенной обратной матрицей относительно . При этом ошибка оценивания уменьшается до минимума, равного

                 (8.5.11а)

или

     (8.5.11б)

Как и ожидалось, ошибка становится равной нулю, когда . Это произойдет, например, если обобщенная обратная матрица  имеет ранг  и определяется соотношением (8.3.5).