8.6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ НЕСОВМЕСТНЫХ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Несовместность системы уравнений  означает, что ни для одной из возможных оценок  система не будет переходить в тождество при подстановке  вместо . В таких случаях систему уравнений можно преобразовать к виду

                                                 (8.6.1)

где  - вектор ошибки, зависящий от . Найдем теперь такое значение оценки , при котором оказывается минимальной величина ошибки, выражаемая двумя эквивалентными соотношениями:

                          (8.6.2а)

        (8.6.2б)

Пусть символ  обозначает псевдообратную матрицу, с помощью которой получается оценка

                                                            (8.6.3)

Прибавив и отняв произведение  внутри обеих скобок соотношения (8.6.2а), получим

     (8.6.4)

После перемножения имеем

      (8.6.5)

Два перекрестных члена будут равны нулю, если  и . Однако при выполнении этих условий матрица  является матрицей обращения методом наименьших квадратов, т. е. . Тогда ошибка будет равна сумме двух положительных слагаемых:

     (8.6.6)

Второй член равенства (8.6.6) превращается в нуль, так как . Следовательно, ошибка уменьшается до величины

                  (8.6.7а)

или, что то же самое,

          (8.6.7б)

Как и ожидалось, ошибка равна нулю, если .

Решение, полученное псевдообращением по методу наименьших квадратов, может быть не единственным. Если при псевдообращении ввести дополнительные условия  и , при которых матрица  является обобщенной обратной (т. е. ), то можно показать, что оценка, полученная с помощью этой матрицы (), является  решением с минимальной нормой в том смысле, что

                        (8.6.8)

где  - произвольная оценка, найденная методом наименьших квадратов. Если обобщенная обратная матрица  имеет ранг  и удовлетворяет определению (8.3.5), то произведение  не обязательно равно единичной матрице, а ошибку можно найти из соотношений (8.6.7). Если же матрица  имеет ранг , т. е. соответствует определению (8.3.6), то и  ошибка равна нулю.

В последующих главах будет показано, как данные теоретические положения применяются для исправления, анализа и кодирования изображений.