8.6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ НЕСОВМЕСТНЫХ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Несовместность системы уравнений
означает, что ни для одной из возможных оценок
система не будет переходить в тождество при подстановке
вместо
. В таких случаях систему уравнений можно преобразовать к виду
(8.6.1)
где
- вектор ошибки, зависящий от
. Найдем теперь такое значение оценки
, при котором оказывается минимальной величина ошибки, выражаемая двумя эквивалентными соотношениями:
(8.6.2а)
(8.6.2б)
Пусть символ
обозначает псевдообратную матрицу, с помощью которой получается оценка
(8.6.3)
Прибавив и отняв произведение
внутри обеих скобок соотношения (8.6.2а), получим
(8.6.4)
После перемножения имеем
(8.6.5)
Два перекрестных члена будут равны нулю, если
и
. Однако при выполнении этих условий матрица
является матрицей обращения методом наименьших квадратов, т. е.
. Тогда ошибка будет равна сумме двух положительных слагаемых:
(8.6.6)
Второй член равенства (8.6.6) превращается в нуль, так как
. Следовательно, ошибка уменьшается до величины
(8.6.7а)
или, что то же самое,
(8.6.7б)
Как и ожидалось, ошибка равна нулю, если
.
Решение, полученное псевдообращением по методу наименьших квадратов, может быть не единственным. Если при псевдообращении ввести дополнительные условия
и
, при которых матрица
является обобщенной обратной (т. е.
), то можно показать, что оценка, полученная с помощью этой матрицы (
), является решением с минимальной нормой в том смысле, что
(8.6.8)
где
- произвольная оценка, найденная методом наименьших квадратов. Если обобщенная обратная матрица
имеет ранг
и удовлетворяет определению (8.3.5), то произведение
не обязательно равно единичной матрице, а ошибку можно найти из соотношений (8.6.7). Если же матрица
имеет ранг
, т. е. соответствует определению (8.3.6), то и
ошибка равна нулю.
В последующих главах будет показано, как данные теоретические положения применяются для исправления, анализа и кодирования изображений.